Question

18．如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距為L，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=30°，導(dǎo)軌電阻不計，磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場垂直于導(dǎo)軌平面向上．長為L的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m、電阻為r=R．兩金屬導(dǎo)軌的上端連接一個燈泡，燈泡的電阻R_L=R，重力加速度為g．現(xiàn)閉合開關(guān)S，給金屬棒施加一個方向垂直于桿且平行于導(dǎo)軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開始運動，當(dāng)金屬棒達到最大速度時，燈泡恰能達到它的額定功率．下列說法正確的是（　　）

• A． 燈泡的額定功率P_L=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
• B． 金屬棒能達到的最大速度v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
• C． 金屬棒達到最大速度的一半時的加速度α=$\frac{1}{4}$g
• D． 若金屬棒上滑距離為d時速度恰達到最大，則金屬棒由靜止開始上滑4d的過程中，金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r=4mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$

Answer 1

分析 當(dāng)金屬棒做勻速直線運動時，速度最大，由平衡條件可以求出最大速度．金屬棒達到最大速度的一半時求出安培力的大小，然后又受力分析結(jié)合牛頓第二定律可以求出加速度．由能量守恒定律可以求出R上產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：電路中的總電阻是R_L+r=R+R=2R：
A、B、勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，金屬棒達到最大速度時產(chǎn)生的電動勢：E=BLv_m，
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流：I=$\frac{E}{2R}$，
金屬棒棒所受安培力：F_安=BIL，
ab棒所受合外力為零時，速度達到最大，由平衡條件得：F-F_安-mgsinα=0，
代入數(shù)據(jù)解得：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
I=$\frac{BL{v}_{m}}{2R}=\frac{mg}{2BL}$
燈泡的額定功率P_L=I²•R=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．故A正確，B正確；
C、金屬棒達到最大速度的一半時，感應(yīng)電動勢：$E′=BL\frac{{v}_{m}}{2}=\frac{mgR}{2BL}$
安培力：$F′=BI′L=\frac{E′}{2R}•BL=\frac{1}{4}mg$
設(shè)棒的加速度a′則：$ma′=F-mgsin30°-F′=\frac{1}{4}mg$
所以：$a′=\frac{1}{4}g$．故C正確；
D、設(shè)金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r，整個電路產(chǎn)生的電熱為Q_總，
由能量守恒定律得：F•4d=mg•4d•sinα+$\frac{1}{2}$mv_m²+Q_總，
金屬棒上產(chǎn)生的電熱Q_r：Q_r=$\frac{R}{2R}$Q_總，
代入數(shù)據(jù)解得：Q_r=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；故D錯誤．
故選：ABC

點評 解決本題的關(guān)鍵會根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運動學(xué)能夠分析出金屬棒的運動情況，當(dāng)a=0時，速度達到最大．