Question

【題目】如圖所示，在傾角為30°足夠長(zhǎng)的光滑斜面上有一長(zhǎng)為l＝100 cm、開(kāi)口向上的薄壁玻璃管，用長(zhǎng)為l1＝50 cm的水銀柱封閉一段空氣柱。當(dāng)玻璃管保持靜止時(shí)，空氣柱長(zhǎng)為l2＝12.5 cm。已知玻璃管的橫截面積S＝1 cm2，大氣壓強(qiáng)p0＝75 cmHg，水銀的密度ρ＝13.6×103 kg/m3，玻璃管的質(zhì)量與水銀柱的質(zhì)量相等，g取10 m/s2。

①若將玻璃管開(kāi)口向下放置于斜面，且仍使其保持靜止?fàn)顟B(tài)，求管內(nèi)空氣柱長(zhǎng)度；

②在①問(wèn)情形下，用沿斜面向上的恒力F拉玻璃管使其向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，為了使水銀柱不從管口溢出，求F的大小應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1) 25 cm (2) 6.8 N<F≤13.6 N

【解析】①以管內(nèi)氣體為研究對(duì)象，管開(kāi)口向上放置時(shí)氣體壓強(qiáng)：p1＝p0＋l1sin30°＝100cmHg

管開(kāi)口向下放置時(shí)氣體壓強(qiáng)：p2＝p0－l1sin30°＝50cmHg

設(shè)空氣柱長(zhǎng)為l3，此過(guò)程氣體發(fā)生等溫變化，由玻意耳定律得p1V1＝p2V2

即p1l2S＝p2l3S，

代入數(shù)據(jù)解得l3＝25cm

②設(shè)管內(nèi)水銀柱的質(zhì)量為m，則m＝ρl1S＝0.68kg

玻璃管整體能向上加速，則F>2mgsin30°＝6.8N

當(dāng)水銀柱下端到玻璃管口時(shí)，整體加速度最大，F也最大，此時(shí)，管內(nèi)空氣柱的長(zhǎng)度為l4＝50cm。

設(shè)管內(nèi)氣壓為p3，由玻意耳定律得：p2V2＝p3V3

代入數(shù)據(jù)解得p3＝25 cmHg

取水銀柱為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：p0S－p3S－mgsin30°＝ma

取玻璃管和水銀柱整體為研究對(duì)象，由牛頓第二定律得：F－2mgsin30°＝2ma

聯(lián)立以上式子解得：F＝2(p0－p3)S＝13.6 N

綜合以上得：6.8 N<F≤13.6 N。