Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系x0y內(nèi)，有一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子A從原點(diǎn)O沿y 軸正方向以初速度v₀射出，粒子重力忽略不計(jì)，現(xiàn)要求該粒子能通過點(diǎn)P（a，-b），可通過在粒子運(yùn)動的空間范圍內(nèi)加適當(dāng)?shù)摹皥觥眮韺?shí)現(xiàn)．
（1）若只在整個Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，使粒子A在磁場中作勻速 圓周運(yùn)動，并能到達(dá)P點(diǎn)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）若只在x軸上某點(diǎn)固定一帶負(fù)電的點(diǎn)電荷 Q，使粒子A在Q產(chǎn)生的電場中作勻速圓周運(yùn)動，并能到達(dá)P點(diǎn)，求點(diǎn)電荷Q的電量大��；
（3）若在整個Ⅰ、Ⅱ象限內(nèi)加垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，并在第IV象限內(nèi)加平行于x軸，沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場，也能使粒子A運(yùn)動到達(dá)P點(diǎn)．如果此過程中粒子A在電、磁場中運(yùn)動的時間相等，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電場強(qiáng)度E的大小．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）畫出粒子由O到P的軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解點(diǎn)電荷Q的電量大��；
（3）畫出軌跡，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，在電場中做類平拋運(yùn)動．在磁場中和在電場中運(yùn)動時間相等，根據(jù)牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式和時間與磁場中相等的條件列式，可得到磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和電場強(qiáng)度E的大小．

解答：解：（1）粒子由O到P的軌跡如圖所示，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動，半徑為R₁，由幾何關(guān)系知：R₁=

a

2

由牛頓第二定律可知：
 

m v 2 0

R1

=qv₀B
由此得：B=

2mv0

qa

（2）粒子由O到P的軌跡如圖所示：

粒子在電場中做圓周運(yùn)動，半徑為R₂：
由幾何關(guān)系知：
  （a-R₂）²+b²=

R

2 2

解得，R₂=

a2+b2

2a

由牛頓第二定律可知
 

kQq

R 2 2

=

m v 2 0

R2

由此得：Q=

m v 2 0 (a2+b2)

2akq

（3）粒子由O經(jīng)P′到P的軌跡如圖所示，在磁場中做圓周運(yùn)動，在電場中做類平拋運(yùn)動
在電場中運(yùn)動時間t：
  t=

b

v0

在磁場中運(yùn)動時間t：
   t=

T

2

=

πm

qB

由此得：B=

πmv0

qb

設(shè)在磁場中做圓周運(yùn)動，半徑為R₃
則有 v₀t=πR₃
則得 R₃=

b

π

電場中 P′P″=a-2R₃=a-

2b

π

又 P′P″=

1

2

?

qE

m

t²
由此得：E=

2m v 2 0 (πa-2b)

πqb2

答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

2mv0

qa

；（2）點(diǎn)電荷Q的電量大小為

m v 2 0 (a2+b2)

2akq

；（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

πmv0

qb

，電場強(qiáng)度E的大小為

2m v 2 0 (πa-2b)

πqb2

．

點(diǎn)評：分析帶電粒子不同情境中的受力和運(yùn)動情況，是解決問題的首要前提，明確運(yùn)動中遵循什么規(guī)律是解題的關(guān)鍵．