Question

如圖所示，P為質(zhì)量為m=1kg的物塊，Q為位于水平地面上的質(zhì)量為M=4kg的特殊平板，平板與地面間的動摩因數(shù)μ=0.02．在板上表面的上方，存在一定厚度的“相互作用區(qū)域”，區(qū)域的上邊界為MN．P剛從距高h(yuǎn)=5m處由靜止開始自由落下時(shí)，板Q向右運(yùn)動的速度為v_o=4m/s．當(dāng)物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)域時(shí)，P、Q之間有相互作用的恒力F=kmg，其中Q對P的作用豎直向上，k=21，F(xiàn)對P的作用使P剛好不與Q的上表面接觸．在水平方向上，P、Q之間沒有相互作用力，板Q足夠長，空氣阻力不計(jì)．（ 取g=10m/s²，以下計(jì)算結(jié)果均保留兩位有效數(shù)字）求：
（1）P第1次落到MN邊界的時(shí)間t和第一次在相互作用區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間T；
（2）P第2次經(jīng)過MN邊界時(shí)板Q的速度v；
（3）從P第1次經(jīng)過MN邊界到第2次經(jīng)過MN邊界的過程中，P、Q組成系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E；
（4）當(dāng)板Q速度為零時(shí)，P一共回到出發(fā)點(diǎn)幾次？

Answer 1

分析：（1）物塊P在到達(dá)MN邊界前做自由落體運(yùn)動，在相互作用區(qū)域先減速運(yùn)動，然后反向加速運(yùn)動，因此根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律可正確求解．
（2）注意當(dāng)物塊P到達(dá)相互作用區(qū)域時(shí)，Q對地面的壓力增大，因此摩擦力發(fā)生變化，其運(yùn)動的加速度也發(fā)生變化，理清其加速度的變化情況，然后根據(jù)運(yùn)動規(guī)律求解．
（3）根據(jù)功能關(guān)系可以求出P、Q組成系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E．
（4）物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)域和離開時(shí)加速度不同，而且具有周期性，然后根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系求解即可．

解答：解：（1）P自由落下第一次到達(dá)邊界MN時(shí)：
h=

1

2

gt2，
所以：t=

2h g

=1s
P到達(dá)邊界MN時(shí)速度：vP=

2gh

=10m/s
P進(jìn)入相互作用區(qū)域時(shí)，kmg-mg=ma，a=（k-1）g=200m/s²    
P第一次進(jìn)入相互作用區(qū)域減速到零后又向上加速，以v_P速度大小再次越過MN，所以運(yùn)動時(shí)：
T=

2vP

a

=0.1s
故P第1次落到MN邊界的時(shí)間t=1s，第一次在相互作用區(qū)域中運(yùn)動的時(shí)間T=0.1s．
（2）上面分析知P先自由下落，以v_P進(jìn)入相互作用區(qū)域，減速到零后又向上加速，以v_P速度大小再次越過MN，然后做豎直上拋運(yùn)動回到原出發(fā)點(diǎn)，接著又重復(fù)上述運(yùn)動過程．
每當(dāng)P從出發(fā)點(diǎn)運(yùn)動到MN的時(shí)間t內(nèi)，板Q加速度a₁向左，根據(jù)牛頓第二定律得：
a1=

μMg

M

=μg=0..2m/s2
每當(dāng)P在相互作用區(qū)中運(yùn)動的時(shí)間T內(nèi)，板Q加速度a₂向左，根據(jù)牛頓第二定律得：
a2=

μ(kmg+Mg)

M

=1.25m/s2
P第2次經(jīng)過MN邊界時(shí)，板Q的速度：
v=v₀-a₁t-a₂T=3.7m/s
故P第2次經(jīng)過MN邊界時(shí)板Q的速度v=3.7m/s．
（3）P第1次經(jīng)過MN邊界時(shí)，板Q的速度：
v₁=v₀-a₁t=3.8m/s
△E=

1

2

M

v

2 1

-

1

2

Mv2=15J
故P、Q組成系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=15J．
（4）設(shè)板Q速度為零時(shí)，P一共回到出發(fā)點(diǎn)n次．由以上分析得：
v₀-2na₁t-na₂T=0
代入數(shù)據(jù)，解得n=7.6，故n取7 
故當(dāng)板Q速度為零時(shí)，P一共回到出發(fā)點(diǎn)7次．

點(diǎn)評：本題的難點(diǎn)是對Q正確進(jìn)行受力分析，弄清楚其加速度的變化，從而明確運(yùn)動規(guī)律，然后根據(jù)運(yùn)動學(xué)規(guī)律或者功能關(guān)系求解．