Question

15．電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運(yùn)載器．電磁軌道炮示意如圖，圖中直流電源電動(dòng)勢為E，電容器的電容為C．兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為l，電阻不計(jì)．炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導(dǎo)軌間處于靜止?fàn)顟B(tài)，并與導(dǎo)軌良好接觸．首先開關(guān)S接1，使電容器完全充電．然后將S接至2，導(dǎo)軌間存在垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢與電容器兩極板間的電壓相等時(shí)，回路中電流為零，MN達(dá)到最大速度，之后離開導(dǎo)軌．問：

（1）磁場的方向；
（2）MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大��；
（3）MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)通過MN電流的方向，結(jié)合左手定則得出磁場的方向．
（2）根據(jù)歐姆定律得出MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的電流，結(jié)合安培力公式，根據(jù)牛頓第二定律得出MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大�。�
（3）開關(guān)S接2后，MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值v_max時(shí)，根據(jù)電動(dòng)勢和電荷量的關(guān)系，以及動(dòng)量定理求出MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q．

解答 解：（1）電容器上端帶正電，通過MN的電流方向向下，由于MN向右運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則知，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面向下．
（2）電容器完全充電后，兩極板間電壓為E，當(dāng)開關(guān)S接2時(shí)，電容器放電，設(shè)剛放電時(shí)流經(jīng)MN的電流為I，有：
I=$\frac{E}{R}$…①
設(shè)MN受到的安培力為F，有：
F=IlB…②
由牛頓第二定律有：
F=ma…③
聯(lián)立①②③式：得a=$\frac{BEl}{mR}$…④
（3）當(dāng)電容器充電完畢時(shí)，設(shè)電容器上電量為Q₀，有：
Q₀=CE…⑤
開關(guān)S接2后，MN開始向右加速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大值v_max時(shí)，設(shè)MN上的感應(yīng)電動(dòng)勢為E′，有：E′=Blv_max…⑥
依題意有：$E′=\frac{Q}{C}$…⑦
設(shè)在此過程中MN的平均電流為$\overline{I}$，MN上受到的平均安培力為$\overline{F}$，有：$\overline{F}=B\overline{I}l$…⑧
由動(dòng)量定理，有$\overline{F}△t=m{v}_{max}-0$…⑨
又$\overline{I}△t={Q}_{0}-Q$…⑩
聯(lián)立⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Q=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{C}^{2}E}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．
答：（1）磁場的方向?yàn)榇怪庇趯?dǎo)軌平面向下；
（2）MN剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)加速度a的大小為$\frac{BEl}{mR}$；
（3）MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{C}^{2}E}{m+{B}^{2}{l}^{2}C}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，解決這類題目的基本思路是對研究對象正確進(jìn)行受力分析，弄清運(yùn)動(dòng)形式，然后依據(jù)相應(yīng)規(guī)律求解，對于第三問，注意電流在變化，安培力在變化，結(jié)合動(dòng)量定理，通過平均電流，結(jié)合通過的電量進(jìn)行求解．