Question

7．如圖所示，O、M、N為豎直放置的光滑細桿上的三個點，A、B兩點與O點處于同一水平線上，且OM=ON=OA=OB=0.4m．質量為m=0.3kg的圓環(huán)穿在細桿上，兩根完全相同、原長均為L=0.4m的輕質彈簧，一端與圓環(huán)相連，另一端分別固定在A、B兩點．現(xiàn)將圓環(huán)沿桿拉至M點由靜止釋放，當圓環(huán)下滑到P點時速度最大，已知OP=0.3m，整個過程中彈簧都在彈性限度內，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）彈簧的勁度系數(shù)k；
（2）圓環(huán)經(jīng)過N點時的速率v和加速度a的大小．

Answer 1

分析 （1）圓環(huán)經(jīng)過P點時速度最大，此時圓環(huán)所受的合力為零．根據(jù)平衡條件和胡克定律結合求解；
（2）N與M關于O點對稱性，可知彈簧在這兩個位置時彈性勢能相等，從M到N，彈力對圓環(huán)做功為0，由動能定理求圓環(huán)經(jīng)過N點時的瞬時速度．

解答 解：（1）圓環(huán)經(jīng)過P點時速度最大，此時圓環(huán)所受的合力為0，設輕質彈簧的勁度系數(shù)為k，此時彈簧的彈力為F，彈簧的伸長量為△x，彈簧與豎直方向夾角為θ，
在P點豎直方向上由力的平衡可得：2Fcosθ=mg
由幾何關系得：△x=$\frac{OP}{cosθ}$-L；cosθ=$\frac{0.3}{0.5}$=0.6
聯(lián)立解得：k=$\frac{F}{△x}$=25N/m．
（2）圓環(huán)從M點到N點的過程中，彈力做功為0，設圓環(huán)經(jīng)過N點的瞬時速度為v，
由動能定理可得：mg（OM+ON）=$\frac{1}{2}$mv²
即：10×（0.4+0.4）=$\frac{1}{2}$×v²
解得：v=4.0m/s
由牛頓第二定律得：2k△x′cos450-mg=ma
△x′=$\frac{OP}{cos4{5}^{0}}$-L=0.4（$\sqrt{2}$-1）
解得：a=$\frac{10×（2-\sqrt{2}）}{0.3}$-g=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為25N/m；
（2）圓環(huán)經(jīng)過N點時的速率為4.0m/s；加速度a的大小為=$\frac{17-10\sqrt{2}}{0.3}$m/s²．

點評 對物理過程進行受力分析和運動過程分析是解決力學問題的根本方法．本題關鍵要抓住隱含的相等條件和速度最大的臨界條件，運用動能定理、平衡條件進行研究．