Question

12．雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大．現(xiàn)將上述過程簡(jiǎn)化為沿豎直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始質(zhì)量為m₀，初速度為v₀，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙₁．此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3…m_m…（設(shè)各質(zhì)量為已知量）．不計(jì)空氣阻力．
（1）若不計(jì)重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n；
（2）若考慮重力的影響，
a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁和v₁；
b．求第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能$\frac{1}{2}$m_nv′_n²．

Answer 1

分析 （1）忽略重力與阻力，系統(tǒng)所受合外力為零，動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律可以求出速度．
（2）碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，應(yīng)用勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式與動(dòng)量守恒定律可以求出速度，然后求出動(dòng)能．

解答 解：（1）不計(jì)重力，全過程中動(dòng)量守恒，以向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₀v₀=m_nv_n′，
解得：v_n′=$\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{n}}$；
（2）若考慮重力的影響，雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，碰撞瞬間動(dòng)量守恒，以向下為正方向，a、第1次碰撞前，由勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式得：
v₁²-v₀²=2gl，
解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$，
第1次碰撞過程，由動(dòng)量守恒定律得：m₀v₁=m₁v₁′，
解得：v₁′=$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$；
b．第2次碰撞前：v₂²-v₁′²=2gl，
解得：v₂²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}}{{m}_{1}^{2}}$）2gl，
第2次碰撞過程，由動(dòng)量守恒定律得：m₁v₂=m₂v₂′，
解得：v₂′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{2}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}}{{m}_{2}^{2}}$）2gl，
同理，第3次碰撞后：v₃′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{3}}$）²v₀²+（$\frac{{m}_{0}^{2}+{m}_{1}^{2}+{m}_{2}^{2}}{{m}_{3}^{2}}$）2gl，
 …
第n次碰撞后，v_n′²=（$\frac{{m}_{0}}{{m}_{n}}$）²v₀²+（$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）2gl，
動(dòng)能：E_K=$\frac{1}{2}$m_nv_n′²=$\frac{1}{2{m}_{n}}$（m₀²v₀²+2gl$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）；
答：（1）若不計(jì)重力，求第n次碰撞后雨滴的速度v_n′=$\frac{{m}_{0}{v}_{0}}{{m}_{n}}$；
（2）若考慮重力的影響，a．求第1次碰撞前、后雨滴的速度v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$，v₁′=$\frac{{m}_{0}}{{m}_{1}}\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gl}$；
b．求第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能E_K=$\frac{1}{2{m}_{n}}$（m₀²v₀²+2gl$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}{m}_{i}^{2}}{{m}_{n}^{2}}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求雨滴的速度與動(dòng)能問題，分析清楚運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、勻變速運(yùn)動(dòng)的速度位移公式即可正確解題，解題時(shí)注意數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用．