Question

20．如圖所示為某鋼鐵廠的鋼錠傳送裝置，斜坡長(zhǎng)為L(zhǎng)=20m，高為h=2m，斜坡上緊排著一排滾筒．長(zhǎng)為l=8m、質(zhì)量為m=1×10³kg的鋼錠ab放在滾筒上，鋼錠與滾筒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，工作時(shí)由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)所有滾筒順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，使鋼錠沿斜坡向上移動(dòng)，滾筒邊緣的線速度均為v=4m/s．假設(shè)關(guān)閉電動(dòng)機(jī)的瞬時(shí)所有滾筒立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，鋼錠對(duì)滾筒的總壓力的大小近似等于鋼錠的重力．取當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度g=10m/s²．試求：
（1）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間．
（2）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)至少要工作多長(zhǎng)時(shí)間？

Answer 1

分析 （1）欲使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短，需要電動(dòng)機(jī)一直工作，則鋼軌先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（2）欲使電動(dòng)機(jī)工作的時(shí)間最短，鋼軌的最后一段運(yùn)動(dòng)要關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，鋼軌勻減速上升，即鋼軌先加速后勻速，最后減速；故電機(jī)工作時(shí)間等于除去減速外鋼軌的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）鋼錠開始受到的滑動(dòng)摩擦力為：f₁=μmg=3×10³N，
設(shè)斜坡與水平面的夾角為α，由牛頓第二定律有：F_f-mgsinα=ma₁，
代入數(shù)據(jù)解得：${a_1}=2m/{s^2}$，
鋼錠做勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_1}=\frac{v}{a}=2s$，位移：${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=4m$，
要使b端到達(dá)坡頂所需要的時(shí)間最短，需要電動(dòng)機(jī)一直工作，鋼錠先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)它的速度等于滾筒邊緣的線速度后，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．鋼錠做勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移：
x₂=L-l-x₁=8m，做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t_2}=\frac{x_2}{v}=2s$，
所需最短時(shí)間 t=t₁+t₂=4s；
（2）要使電動(dòng)機(jī)工作時(shí)間最短，鋼錠的最后一段運(yùn)動(dòng)要關(guān)閉電動(dòng)機(jī)，
鋼錠勻減速上升，b端到達(dá)坡頂時(shí)速度剛好為零．
勻減速上升時(shí)，由牛頓第二定律得：F_f+mgsinα=ma₂，
代入數(shù)據(jù)解得：${a_2}=4m/{s^2}$，
勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t_3}=\frac{v}{a_2}=1s$，
勻減速運(yùn)動(dòng)位移：${x_3}=\frac{v}{2}{t_3}=2m$，
勻速運(yùn)動(dòng)的位移：x₄=L-l-x₁-x₃=6m，
電動(dòng)機(jī)至少要工作的時(shí)間：$t={t_1}+\frac{x_4}{v}=3.5s$；
答：（1）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂所需的最短時(shí)間是4s．
（2）鋼錠從坡底（如圖所示位置）由靜止開始運(yùn)動(dòng)，直到b端到達(dá)坡頂?shù)倪^(guò)程中電動(dòng)機(jī)至少要工作3.5s．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確鋼軌的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后分階段根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．