Question

1．如圖所示，平行于直角坐標(biāo)系Y軸的PQ是用特殊材料制成的，只能讓垂直打到PQ界面上的電子通過(guò)．其左側(cè)有一直角三角形區(qū)域，分布著方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其右側(cè)有豎直向上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)．現(xiàn)有速率不同的電子在紙面上從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿不同方向射到三角形區(qū)域，不考慮電子間的相互作用．已知電子的電量為e，質(zhì)量為m，在OAC中，OA=a，θ=60°．求：
（1）當(dāng)速度方向沿y軸正方向時(shí)，能從OC邊出磁場(chǎng)的電子所具有的最大速度是多少；
（2）能通過(guò)PQ界面的電子所具有的最大速度是多少；
（3）在PQ右側(cè)X軸上什么范圍內(nèi)能接收到電子．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力做向心力求得速度表達(dá)式，然后由幾何關(guān)系求得最大半徑即可得到最大速度；
（2）根據(jù)PQ特點(diǎn)由幾何關(guān)系求得最大半徑，即可得到最大速度；
（3）根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力做向心力求得進(jìn)入電場(chǎng)的電子位置和速度的關(guān)系，然后由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力做向心力，故有$Bve=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$v=\frac{eBR}{m}$；
能從OC邊出磁場(chǎng)的電子，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡和AC相切時(shí)半徑最大，故半徑最大值R_m=a，所以，能從OC邊出磁場(chǎng)的電子所具有的最大速度${v}_{m}=\frac{eBa}{m}$；
（2）要使電子能通過(guò)PQ界面，電子飛出磁場(chǎng)的速度方向必須水平向右，由（1）可知：$v=\frac{eBR}{m}$，故R越大v越大；
所以，從C點(diǎn)水平飛出的電子，運(yùn)動(dòng)半徑最大，對(duì)應(yīng)的速度最大；
故有$（R-a）^{2}+（\sqrt{3}a）^{2}={R}^{2}$，所以，R=2a；故能通過(guò)PQ界面的電子所具有的最大速度${v}_{m}′=\frac{2eBa}{m}$；
（3）只有垂直打到PQ界面上的電子通過(guò)，故電子進(jìn)入電場(chǎng)的范圍為PQ上C到X軸間的范圍；
當(dāng)粒子在PQ上的縱坐標(biāo)為y（0＜y≤a）時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑由幾何關(guān)系可得：$（r-y）^{2}+（\sqrt{3}y）^{2}=r$，所以，r=2y；
那么由洛倫茲力做向心力可得：運(yùn)動(dòng)速度$v′=\frac{2eBy}{m}$；
粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力作用，做類平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$y=\frac{1}{2}×\frac{eE}{m}×{t}^{2}$；
那么，電子打在X軸上的位置為$x=\sqrt{3}a+v′t$=$\sqrt{3}a+\frac{2eBy}{m}×\sqrt{\frac{2my}{eE}}$=$\sqrt{3}a+2By\sqrt{\frac{2ey}{mE}}$，
所以，$\sqrt{3}a＜x≤\sqrt{3}a+2Ba\sqrt{\frac{2ea}{mE}}$；
答：（1）當(dāng)速度方向沿y軸正方向時(shí)，能從OC邊出磁場(chǎng)的電子所具有的最大速度是$\frac{eBa}{m}$；
（2）能通過(guò)PQ界面的電子所具有的最大速度是$\frac{2eBa}{m}$；
（3）在PQ右側(cè)X軸上$（\sqrt{3}a，\sqrt{3}a+2Ba\sqrt{\frac{2ea}{mE}}]$范圍內(nèi)能接收到電子．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，加速電場(chǎng)一般由動(dòng)能定理或勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題則根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律結(jié)合幾何條件求解．