Question

16．激流勇進是游樂園常有的激動游樂項目，其工作原理是由主動輪將游船沿較長的傾斜軌道提升至一定高度，然后船只從高處滑下，沖入水中，濺起很高且美麗的水花，整個過程刺激又有趣，其工作過程可以簡化為如下情景：如圖所示，左側傾角α=30°的軌道AB（其長L₁=30m）上相互間隔安裝著主動輪，主動輪與游船間的動摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；右側傾角β=53°的軌道CD（其長L₂=20m）上相互間隔安裝著導向輪（不會提供動力），導向輪與游船間的動摩擦因數(shù)均為μ₂=$\frac{41}{72}$；左右兩側軌道通過一段平滑軌道BC（其長L₃=3m）相連，兩相鄰主動輪（或導向輪）間的距離s₀=1m．長為L₀=2m的游船上坐著兩個游客，總質量為180kg，從左側軌道如圖所示的位置由靜止開始被主動輪帶動向上運動（主動輪的半徑r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），達恒定的速率后，一直以此速率運動到游船尾部剛好與右側軌道的上端C點平齊的位置，之后在導向輪上向下滑動．已知g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）游船從軌道左側運動到右側底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間；
（2）動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）游船向上的運動有兩段：先向上做加速運動，然后做勻速運動，向由牛頓第二定律求出游船的加速度，然后由運動學的公式求出向上加速的時間和位移，再由位移關系求出勻速運動的位移和時間；最后由牛頓第二定律求出游船向下加速的時間，求出三段時間的和即可；
（2）由瞬時功率的表達式分別寫出動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率，再求出它們的比值即可

解答 解：（1）游船向上加速的過程中設加速度為a₁，由牛頓第二定律得：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入數(shù)據(jù)得：a₁=2.5m/s²
從靜止至游船的速度與主動輪的速度相等的時間t₁，向上的位移為x₁，由運動學的公式有：v=a₁t₁
主動輪的線速度：v=rω=0.2×10=2m/s
聯(lián)立得：t₁=0.8s
又：${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}=0.8m$
游船向上勻速直線運動位移：x₂=L₁+L₃-x₁=30+3-0.8=32.2m
勻速運動的時間：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=16.1s$
游船在右側的軌道上做勻加速直線運動，設加速度為a2，由牛頓第二定律得：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
設加速的時間為t₃，游船在右側的軌道是發(fā)生的位移：${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{3}}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：t₃=2.4s
所以總時間：t=t₁+t₂+t₃=0.8s+16.1s+2.4s=19.3s
（2）游船到達恒定的速率前，動力裝置增加的功率為：P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）•v
游船到達恒定的速率后動力裝置提供的功率為：P₂=f₂v=mgsinα•v
所以動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比為：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船從軌道左側運動到右側底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間是19.3s；
（2）動力裝置在游船達到恒定速率前后（沒有到達BC軌道）需增加的功率之比是3：2．

點評 該題雖然看似提供的情景比較新穎，但屬于傳送帶問題，抓住游船向上的運動的特點分成加速階段和勻速階段兩段，然后分別使用各自的公式進行解答是關鍵．