Question

如圖所示，有一與地面平行的、沿水平方向的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域高度為h，有一寬度為 b（b<h）、電阻為R、質(zhì)量為m的矩形金屬線框（導(dǎo)線粗細(xì)均勻），緊貼磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界從靜止起豎直下落，結(jié)果線框下邊剛出磁場(chǎng)下邊界時(shí)，線框就做勻速運(yùn)動(dòng)。已知線框穿出磁場(chǎng)過程產(chǎn)生的熱量是穿入磁場(chǎng)過程產(chǎn)生熱量的2倍。重力加速度為g，求：

（1）線框勻速穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度大��；

（2）線框穿出磁場(chǎng)過程中，線框中感應(yīng)電流大��；

（3）線框下落速度時(shí)，線框的加速度大��；

（4）換用相同材料的導(dǎo)線較粗的線框，其它條件均不變，試描述線框穿出磁場(chǎng)過程的運(yùn)動(dòng)情況，并比較粗、細(xì)兩個(gè)線框穿越整個(gè)磁場(chǎng)過程產(chǎn)生熱量的大小關(guān)系。

Answer 1

（1）由題意，線框勻速穿出磁場(chǎng)區(qū)域，設(shè)穿出時(shí)產(chǎn)生的熱量為Q₂，由動(dòng)能定理得：

        （1分）

設(shè)線框穿入時(shí)產(chǎn)生的熱量為Q₁，由題意有：  

設(shè)線框穿出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為v_m，對(duì)線框由靜止到剛要離開磁場(chǎng)區(qū)域過程，由動(dòng)能定理可得：

          （2分）

解得：                        （2分）

（2）設(shè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線框切割磁感線的長(zhǎng)度為l。

線框勻速穿出時(shí)，由平衡條件可得：

                                  （1分）

又由：                       （1分）

即：                        

將代入上式得：   （1分）

代入上式得：         （2分）

（3）設(shè)線框恰好完全進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v₁，對(duì)線框由恰好完全進(jìn)入磁場(chǎng)到剛要穿出磁場(chǎng)過程研究，線框只受重力作用，由動(dòng)能定理可得：

可得：，說明當(dāng)時(shí)，線框還未完全進(jìn)入磁場(chǎng)。  （2分）

對(duì)線框由牛頓第二定律得：

     （1分）

代入得：                      （2分）

（4）換用相同材料的導(dǎo)線較粗的線框時(shí)，唯一不同的是兩線框?qū)Ь�橫截面積s的不同，若能說明線框的速度與s無關(guān)，便可知道線框的運(yùn)動(dòng)情況跟原來的完全相同。

當(dāng)線框進(jìn)入磁場(chǎng)后速度為v時(shí)，對(duì)線框研究，由牛頓第二定律得：

加速度：                              （1分）

設(shè)導(dǎo)線的電阻率為，密度為，線框總長(zhǎng)度為L，則有：

                             （1分）

可見，此時(shí)加速度a與導(dǎo)線橫截面積s無關(guān)，由此類推，便可知速度v與導(dǎo)線橫截面積s無關(guān)。故粗線框穿出磁場(chǎng)過程也是勻速運(yùn)動(dòng)，速度大小也為。  （2分）

設(shè)全過程線框產(chǎn)生的熱量為Q，取線框從靜止開始到完全離開磁場(chǎng)過程研究，由動(dòng)能定理得：

可得：

   （2分）

由上式可得：線框穿越整個(gè)磁場(chǎng)過程產(chǎn)生的熱量與導(dǎo)線橫截面積s有關(guān)且成正比，而上式的其他物理量均與線框粗細(xì)無關(guān)，因此粗線框產(chǎn)生的熱量大于細(xì)線框產(chǎn)生的熱量。   （1分）