Question

如圖所示，已知半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，甲軌道左側(cè)又連接一個光滑的軌道，兩圓形軌道之間由一條水平軌道CD相連．一小球自某一高度由靜止滑下，先滑上甲軌道，通過動摩擦因數(shù)為μ的CD段，又滑上乙軌道，最后離開圓軌道．若小球在兩圓軌道的最高點對軌道壓力都恰好為零．試求：
（1）分別經(jīng)過C、D時的速度；
（2）小球釋放的高度h；
（3）水平CD段的長度．

Answer 1

解：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設(shè)小球滑過C點時的速度為v_c，通過甲環(huán)最高點速度為v′，根據(jù)小球?qū)ψ罡唿c壓力為零，有
①
取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律
②
由①、②兩式消去v′，可得　
　　　　　　　 ③
同理可得小球滑過D點時的速度
　　　　　　　　　 ④
所以小球經(jīng)過C點的速度為 經(jīng)過D點的速度為
（2）小球從在甲軌道左側(cè)光滑軌道滑至C點時機械能守恒，有
　 ⑤
由③、⑤兩式聯(lián)立解得
h=2.5R
因此小球釋放的高度為2.5R
（3）設(shè)CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應(yīng)用動能定理
　 ⑥
由③、④、⑥三式聯(lián)立解得

則有水平CD段的長度為
分析：小球滾到兩圓軌道最高點均僅受重力，運用向心力公式可求出在其位置的速度．因為軌道光滑，則由機械能守恒定律可求出軌道最低點速度，從而也求出釋放的高度．由于CD段粗糙，不能運用機械守恒定律，選用動能定理，就可算出長度，
點評：掌握向心力公式外，還熟悉了牛頓第二定律，最后比較了機械能守恒定律與動能定理的優(yōu)缺點．本題中小球在軌道最高點壓力為零是解題的切入點．