Question

如圖所示，固定的光滑圓柱體半徑R=

1

π

（m），勻質(zhì)柔軟繩長度L=3m，質(zhì)量m=0.9kg，搭放在圓柱體上，繩子右端A剛好與圓心O等高．（g=10m/s²）
（1）若使繩子在如圖位置靜止，在A端施加的豎直向下的拉力F₁多大？
（2）若給繩一個初速度v₀=2m/s，同時(shí)給A端豎直向下的力F₂，為保持A端在一段時(shí)間內(nèi)豎直向下勻速運(yùn)動，則力F₂與時(shí)間t之間滿足什么關(guān)系？
（3）若給繩一個初速度v₀=2m/s，為使繩能夠從圓柱體右側(cè)滑落，在A端施加的豎直向下的拉力至少做多少功？

Answer 1

分析：（1）由于圓柱體光滑，要使繩子在如圖位置靜止，在A端施加的豎直向下的拉力F₁等于處于懸垂?fàn)顟B(tài)的繩子重力．
（2）為保持A端在一段時(shí)間內(nèi)豎直向下勻速運(yùn)動，力F₂需要維持到左、右兩邊繩長恰好相等，列式求解．
（3）為使繩能夠從圓柱體右側(cè)滑落，在A端施加的豎直向下的拉力作用下，繩至少應(yīng)運(yùn)動到左、右兩邊繩長恰好相等，且此時(shí)繩速度為零．根據(jù)動能定理求解拉力做功．

解答：解：（1）與光滑圓柱體接觸的繩長為l=πR=1m，可見處于懸垂?fàn)顟B(tài)的繩長占整個繩長的

2

3

．為使繩子保持靜止，拉力大小
  F₁=

2

3

mg=

2

3

×0.9×10=6N
（2）為保持A端在一段時(shí)間內(nèi)豎直向下勻速運(yùn)動，力F₂需要維持到左、右兩邊繩長恰好相等，即A端下降1m，此時(shí)t=

l

v

=0.5s．在此之前，有
 F₂=

2

3

mg-2

vt

L

mg=（6-12t）N （t≤0.5s）
（3）為使繩能夠從圓柱體右側(cè)滑落，在A端施加的豎直向下的拉力作用下，繩至少應(yīng)運(yùn)動到左、右兩邊繩長恰好相等，且此時(shí)繩速度為零．設(shè)該過程拉力至少做功W_min，根據(jù)動能定理，有
  W_min-

1

3

mg×

L

3

=0-

1

2

m

v

2 0

得W_min=

1

9

mgL-

1

2

m

v

2 0

=（3-1.8）J=1.2J
答：
（1）若使繩子在如圖位置靜止，在A端施加的豎直向下的拉力F₁為6N．
（2）若給繩一個初速度v₀=2m/s，同時(shí)給A端豎直向下的力F₂，為保持A端在一段時(shí)間內(nèi)豎直向下勻速運(yùn)動，則力F₂與時(shí)間t之間滿足（6-12t）N （t≤0.5s）．
（3）若給繩一個初速度v₀=2m/s，為使繩能夠從圓柱體右側(cè)滑落，在A端施加的豎直向下的拉力至少做1.2J的功．

點(diǎn)評：本題要緊扣勻速運(yùn)動受力平衡條件進(jìn)行分析，并運(yùn)用動能定理求變力做功．