Question

10．由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體，地球表面的重力加速度大小為g，引力常量為G．“蛟龍”下潛深度為d，天宮一號軌道距離地面高度為h．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零．求
（1）“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是多少？
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力即可求出“天宮一號”的周期；
（2）根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d的地球內(nèi)部的重力加速度相當于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的重力加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達式，再根據(jù)半徑關系求解深度為d處的重力加速度與地面重力加速度的比值．衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，運用萬有引力提供向心力可以解出高度為h處的加速度，再求其比值．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
地球表面的物體受到的萬有引力等于重力，即：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$
（2）令地球的密度為ρ，對地球表面的物體：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
由于地球的質(zhì)量為：M=ρ•$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達式可寫成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{G•ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πGρR．
根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}=m{g}_{1}$，“天宮一號”的加速度為${g}_{1}=\frac{GM}{{（R+h）}^{2}}$
$\frac{{g}_{1}}{g}=\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故海底的重力加速度g₂=$\frac{4}{3}$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{{g}_{2}}{g}=\frac{R-d}{R}$
所以$\frac{{g}_{2}}{{g}_{1}}=\frac{（R-d）{（R+h）}^{2}}{{R}^{3}}$，
答：（1）“天宮一號”繞地心轉(zhuǎn)一周的時間是$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$；
（2）“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度之比為$\frac{（R-d）{（R+h）}^{2}}{{R}^{3}}$．

點評 抓住在地球表面重力和萬有引力相等，在地球內(nèi)部，地球的重力和萬有引力相等，要注意在地球內(nèi)部距離地面d處所謂的地球的質(zhì)量不是整個地球的質(zhì)量而是半徑為（R-d）的球體的質(zhì)量．