Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，第一象限的射線op與x軸夾角為30º，在∠pox范圍之外存在垂直xoy面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、帶電量為q的正電粒子，從o點(diǎn)以沿y軸負(fù)方向的速度v出發(fā)僅受磁場(chǎng)力而運(yùn)動(dòng)。試求：

（1）粒子離開o點(diǎn)后，第三次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界時(shí)的位置坐標(biāo)；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）若保持其它條件不變而將∠pox變?yōu)?5º，粒子出發(fā)之后將總共幾次穿越磁場(chǎng)邊界？

Answer 1

（1）（，）（2）（3）11次

試題分析：

（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖為粒子運(yùn)動(dòng)軌跡描繪，
洛侖茲力提供向心力：    
得圓軌道半徑
第一段圓弧軌跡OA為半圓，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2R
粒子再次由點(diǎn)B（2R，）進(jìn)入磁場(chǎng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與邊界OP夾角θ₂=60º
粒子再次出磁場(chǎng)即第三次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)邊界在位置C，由幾何關(guān)系
BC=2Rsinθ₂=
由此易得C點(diǎn)坐標(biāo)（，），即（，）
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期周期
粒子第一段圓弧OA圓心角180º，第二段圓弧BC圓心角為360º-2θ₂=240º
由幾何關(guān)系，粒子第三次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度與邊界Ox夾角θ₃=30º，這也是粒子第三次出磁場(chǎng)時(shí)速度與邊界Ox的夾角，因?yàn)椤螾ox=α=30º，所以第三次出磁場(chǎng)后粒子速度與OP平行，不再能進(jìn)入磁場(chǎng)。…………1分
容易求得粒子第三次在磁場(chǎng)中軌跡的圓心角為60º.
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為：
t== 
（3）每一次粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度與磁場(chǎng)邊界夾角，與出磁場(chǎng)時(shí)速度與磁場(chǎng)邊界夾角相等，如右圖可看出：
θ_n+1=θ_n-α
其中θ_n為粒子第n次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，進(jìn)磁場(chǎng)或出磁場(chǎng)時(shí)其速度與磁場(chǎng)邊界的夾角，可看出這個(gè)角度每次減小α，若第n次的θ_n減為0或者負(fù)值，則第n次圓周運(yùn)動(dòng)將不再發(fā)生。α為15º，θ₁為90º，因?yàn)椋害?sub>1-6α=0
所以粒子只能在磁場(chǎng)中進(jìn)行6次圓周運(yùn)動(dòng)，出發(fā)后穿越磁場(chǎng)邊界的次數(shù)為11次