Question

1．如圖所示，一水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶，右側(cè)通過小圓弧連接兩根直光滑金屬導(dǎo)軌，金屬導(dǎo)軌與水平面成θ=30°角，傳送帶與導(dǎo)軌寬度均為L=1m．沿導(dǎo)軌方向距導(dǎo)軌頂端x₁=0.7m到x₂=2.4m之間存在垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場區(qū)域abcd，ab、cd垂直于平行導(dǎo)軌，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．將質(zhì)量均為m=0.1kg的導(dǎo)體棒P、Q相隔△t=0.2s分別從傳送帶的左端自由釋放，兩導(dǎo)體棒與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，兩棒到達(dá)傳送帶右端時(shí)已與傳送帶共速．導(dǎo)體棒P、Q在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，P棒進(jìn)入磁場時(shí)剛好做勻速運(yùn)動(dòng)，Q棒穿出磁場時(shí)速度為$2\sqrt{6}$m/s．導(dǎo)體棒P、Q的電阻均為R=4Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g取10m/s²．
（1）求傳送帶的運(yùn)行速度v₀．
（2）不需要求解過程，請(qǐng)定性畫出導(dǎo)體棒P兩端的電壓U_p隨時(shí)間t的變化關(guān)系（從進(jìn)入磁場開始計(jì)時(shí)）．
（3）求從導(dǎo)體棒P、Q在傳送帶上自由釋放開始到穿出磁場的過程中產(chǎn)生的總內(nèi)能．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、由歐姆定律求出電流、由安培力公式與平衡條件求出導(dǎo)體棒做勻速運(yùn)動(dòng)的速度，由動(dòng)能定理求出傳送帶的速度．
（2）分三段求出電壓隨時(shí)間的變化關(guān)系，然后作出圖象．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出導(dǎo)體棒與傳送帶間的相對(duì)位移，由能量守恒定律求出導(dǎo)體棒穿出磁場的過程中產(chǎn)生的總內(nèi)能．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒P進(jìn)入磁場時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)切割磁感線的速度為v，則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{2R}$
導(dǎo)體棒受到的安培力F_安=BLI=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
由平衡條件可知 F_安=mgsin θ
解得v=4 m/s     
導(dǎo)體棒P脫離傳送帶時(shí)已與傳送帶共速，設(shè)傳送帶的速度為v₀，導(dǎo)體棒P沿斜面下滑x₁的過程中，由動(dòng)能定理得
mgx₁sin θ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=3 m/s，即傳送帶的運(yùn)行速度為3 m/s．
（2）導(dǎo)體棒P勻速進(jìn)入磁場時(shí)，兩端電壓U_P=IR=$\frac{E}{2R}$•R=$\frac{BLv}{2}$
導(dǎo)體棒P、Q都進(jìn)入磁場共同加速時(shí)，U_P′=E=BLv
導(dǎo)體棒P出磁場后，只有導(dǎo)體棒Q切割磁場，做變減速運(yùn)動(dòng)，U″_P=$\frac{BLv}{2}$
電壓隨時(shí)間的定性變化圖象如圖．
（3）導(dǎo)體棒P、Q在傳送帶上加速過程中產(chǎn)生的內(nèi)能為Q₁=2μmgs_相對(duì)=0.9 J   
導(dǎo)體棒P勻速進(jìn)入磁場過程中，有x₃=vt
由功能關(guān)系得Q₂=mgx₃sin θ=0.4 J    
導(dǎo)體棒P、Q共同在磁場中加速下滑過程中，
x₄=x₂-x₁-x₃=0.9 m
設(shè)導(dǎo)體棒P出磁場時(shí)速度為u，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得
u²-v²=2ax₄，解得 u=5 m/s
導(dǎo)體棒Q切割磁感線時(shí)下滑的距離為 x₅=0.8 m
由功能關(guān)系得Q₃=mgx₃sin θ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+$\frac{1}{2}m{u}^{2}$=0.45 J       
Q=Q₁+Q₂+Q₃=1.75 J．
答：
（1）傳送帶的運(yùn)行速度v₀為3 m/s．
（2）畫出導(dǎo)體棒P兩端的電壓U_p隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖所示．　
（3）從導(dǎo)體棒P、Q在傳送帶上自由釋放開始到穿出磁場的過程中產(chǎn)生的總內(nèi)能為1.75 J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求速度、作U-t圖象、求產(chǎn)生的內(nèi)能等問題，關(guān)鍵要分析清楚導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過程，再應(yīng)用E=BLv、應(yīng)用歐姆定律、安培力公式、平衡條件、應(yīng)用能量守恒定律即可正確解題．