Question

6．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的軌道由三部分組成：光滑曲線軌道AB，其B端的切線沿水平方向；水平的平直軌道BC，其右端在B點與曲線軌道平滑連接；半圓形軌道CD，其直徑CD沿豎直方向，且C端與平直軌道平滑連接，整個軌道處于豎直平面內(nèi)．已知BC軌道的長度L=0.64m，半圓形軌道的半徑R=0.10m．現(xiàn)有一質量m₁=0.16kg的小滑塊1從曲線軌道距B端高h=0.80m處由靜止下滑，并與靜止在B點的、質量m₂=0.04kg的小滑塊2發(fā)生碰撞，碰撞后兩滑塊立即粘在一起運動．當兩個小滑塊一起運動到C點時的速度大小v_C=3.0m/s，已知兩個小滑塊均可視為質點，不計空氣阻力，重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大小；
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度大小；
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動能；
（4）兩小滑塊一起運動過程中與BC軌道間的動摩擦因數(shù)；
（5）兩小滑塊一起運動到半圓形軌道的C點時，對半圓形軌道的壓力；
（6）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運動到D點時的速度大��；
（7）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運動到D點時對半圓形軌道的壓力； 
（8）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道后落在BC軌道上的第一落點到C點的距離；
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點，求兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圓形軌道不光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道D后落在BC軌道上的第一落點到C點的距離范圍．

Answer 1

分析 （1）小滑塊1從曲線軌道下滑到B的過程中，只有重力做功，機械能守恒，由機械能守恒定律求解小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大�。�
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程，根據(jù)動量守恒定律求解碰撞后瞬間的速度大小．
（3）根據(jù)能量守恒定律求碰撞過程中損失的動能；
（4）兩小滑塊一起從B到C的運動過程，運用動能定理求BC軌道間的動摩擦因數(shù)；
（5）在C點，由合力提供向心力，由牛頓運動定律求兩滑塊對半圓形軌道的壓力；
（6）兩小滑塊一起從C運動到半圓形軌道C點的過程，由機械能守恒定律求兩小滑塊運動到D點時的速度大小；
（7）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊運動到D點時由合力提供向心力，由牛頓定律求兩滑塊對半圓形軌道的壓力； 
（8）若半圓形軌道光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律求落在BC軌道上的第一落點到C點的距離；
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點，由重力提供向心力，由此求得D點的臨界速度，再由動能定理求兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功；
（10）若半圓形軌道不光滑，兩小滑塊通過半圓形軌道D后，由平拋運動的規(guī)律求落在BC軌道上的第一落點到C點的距離范圍．

解答 解：（1）小滑塊1從曲線軌道下滑到B的過程中，由機械能守恒定律得：
   m₁gh=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.80}$=4.0m/s
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程，取向左為正方向，根據(jù)動量守恒定律得
    m₁v₀=（m₁+m₂）v₁．
可得小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度 v₁=3.2m/s
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動能△E_k=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
代入數(shù)據(jù)解得△E_k=0.256J
（4）設兩小滑塊一起運動過程中與BC軌道間的動摩擦因數(shù)為μ．
兩小滑塊一起從B到C的運動過程，運用動能定理得：
-μ（m₁+m₂）gL=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₁²．
解得 μ≈0.10
（5）在C點，以兩滑塊整體為研究對象，由牛頓第二定律得
  N_C-（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N_C=20N
由牛頓第三定律知，兩小滑塊運動到C點時對半圓形軌道的壓力大小為20N，方向豎直向下．
（6）兩小滑塊一起從C運動到半圓形軌道C點的過程，由機械能守恒定律得
   2（m₁+m₂）gR+$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 v_D=2.2m/s
（7）在D點，以兩滑塊整體為研究對象，由牛頓第二定律得
  N_D+（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 N_D=8.0N
由牛頓第三定律知，兩小滑塊運動到D點時對半圓形軌道的壓力大小為8.0N，方向豎直向上．
（8）兩小滑塊通過半圓形軌道后做平拋運動，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
   x=v_Dt
聯(lián)立解得 x=0.2$\sqrt{5}$m≈0.45m
（9）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點，在D點，有 （m₁+m₂）g=（m₁+m₂）$\frac{{v}_{D}^{′2}}{R}$
由動能定理得：-2（m₁+m₂）gR-W_f=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_D′²-$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v_C²．
解得 W_f=0.40J
（10）若半圓形軌道不光滑，且兩小滑塊恰好能通過D點，則有
     x′=v_′Dt
解得 x′=0.2m
所以所求的范圍為：0.2m≤x≤0.45m．
答：
（1）小滑塊1與小滑塊2碰撞前瞬間的速度大小為4.0m/s．
（2）小滑塊1與小滑塊2碰撞后瞬間的速度大小是3.2m/s．
（3）小滑塊1與小滑塊2碰撞過程中損失的動能是0.256J．
（4）兩小滑塊一起運動過程中與BC軌道間的動摩擦因數(shù)是0.10．
（5）兩小滑塊一起運動到半圓形軌道的C點時，對半圓形軌道的壓力是20N．
（6）兩小滑塊運動到D點時的速度大小是2.2m/s．
（7）兩小滑塊運動到D點時對半圓形軌道的壓力是8.0N．
（8）兩小滑塊通過半圓形軌道后落在BC軌道上的第一落點到C點的距離是0.45m．
（9）兩小滑塊通過半圓形軌道的過程中克服摩擦阻力所做的功是0.40J．
（10）距離范圍為0.2m≤x≤0.45m．

點評 本題是機械能定律、動能定理、牛頓第二定律和平拋運動規(guī)律的綜合應用，關鍵要把握滑塊到達D點的臨界條件：重力等于向心力．