Question

16．1986年2月20日，發(fā)射升空的“和平號(hào)”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋．“和平號(hào)”風(fēng)風(fēng)雨雨15年里鑄就了輝煌業(yè)績(jī)，已成為航天史上的永恒篇章，“和平號(hào)”空間站總質(zhì)量137t，工作容積超過(guò)400m³，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱．在太空運(yùn)行的這一“龐然大物”按照地面指令準(zhǔn)確墜落在預(yù)定海域，這在人類歷史上還是第一次，“和平號(hào)”空間站正常行動(dòng)時(shí)，距離地面平均高度大約為350km，為了保證空間站最終安全墜落，俄羅斯航天局地面控制中心對(duì)空間站的運(yùn)行做了精心安排和控制．在墜落前空間站已經(jīng)順利進(jìn)入指定的低空軌道，此時(shí)“和平號(hào)”距離地面的高度大約為240km，在“和平號(hào)”沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km．設(shè)“和平號(hào)”空間站正常運(yùn)行時(shí)沿高度為350km圓形軌道運(yùn)行，墜落前在高度為240km的指定圓形低空軌道運(yùn)行．而且沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周空間站高度變化很小，因此，計(jì)算時(shí)對(duì)空間站的每一周的運(yùn)動(dòng)都可以作為勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理．
（1）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值多大？計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字
（2）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均變化多大？計(jì)算中取地球半徑R=6.4×10×3km，計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字．

Answer 1

分析 （1）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬(wàn)有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma，得a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$．加速度與軌道半徑的平方成反比，代入數(shù)據(jù)求比值．
（2）萬(wàn)有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，代入數(shù)據(jù)可計(jì)算出T的值．每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為n=$\frac{24h}{T}$，所以空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均減小△h=$\frac{2.7km}{n}$，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答 解：（1）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬(wàn)有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma
空間站運(yùn)行時(shí)向心加速度是a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$，空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與在沿指定的低空軌道運(yùn)行的半徑分別為：
r₁=R+h₁=6.75×10³km；
r₂=R+h₂=6.64×10³km；
加速度大小的比值是 $\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{6.6{4}_{\;}^{2}}{6.6{5}_{\;}^{2}}=0.98{4}_{\;}^{2}=0.97$
（2）萬(wàn)有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，有G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$r
不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，有GM=R²g
則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=2×3.14 $\sqrt{\frac{（6.64×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{3}}{（6.4×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{2}×10}}$s=5.3×10³s；
一晝夜的時(shí)間為t=24h，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為：
n=$\frac{t}{T}$≈16
空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均減小：
△h=$\frac{2.7km}{n}$=$\frac{2.7km}{16}$≈2×10^-1km．
答：（1）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值0.97
（2）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過(guò)程中空間站高度平均變化$2×1{0}_{\;}^{-1}km$

點(diǎn)評(píng) 本題要求知道解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般方法：萬(wàn)有引力提供向心力；星球表面的重力等于萬(wàn)有引力．同時(shí)要注意第二問(wèn)的結(jié)果要求保留1位有效數(shù)字，這是容易出錯(cuò)的地方，要小心．