Question

10．如圖所示，空間內(nèi)有方向垂直紙面（豎直面）向里的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ、Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小未知．區(qū)域I內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等．現(xiàn)有一質(zhì)量m=1×10^-2kg、電荷量q=1×10^-2C的帶正電滑塊從區(qū)域I左側(cè)邊界N點(diǎn)以v₀=4m/s的初速度沿光滑的水平面向右運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ后，滑塊立即在區(qū)域I豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并落在與邊界MN相距L=2m的A點(diǎn)，取重力加速度g=10m/s²．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E和區(qū)域I中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁；
（2）若滑塊在N點(diǎn)以v₁=6$\sqrt{2}$m/s的初速度沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)滑塊經(jīng)過Ⅰ區(qū)進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，求區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂及有界磁場(chǎng)區(qū)域I的寬度d．

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力的大小相等，方向相反；小球離開磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出下落的高度，然后結(jié)合幾何關(guān)系由于洛倫茲力提供向心力的公式即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的合外力為0，受力分析即可求出小球的速度的大小，結(jié)合動(dòng)能定理即可求出有界磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的寬度d及區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小．

解答 解：（1）小球進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)區(qū)域后，小球立即在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力的大小相等，方向相反；即：
qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{0.01}=10$N/C
由于小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓，小球離開磁場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，水平方向：L=v₀t₁
得：${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{2}{4}s=0.5$s
小球下落的高度：$h=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{5}^{2}m=1.25$m
小球在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡是半個(gè)圓，結(jié)合幾何關(guān)系可得：h=2r
所以：r=$\frac{1}{2}$h=0.625m
小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力恰好提供向心力，得：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{0.01×4}{0.01×0.625}=6.4$T
（2）小球進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ后恰好能沿直線運(yùn)動(dòng)，說明小球受到的合外力為0，此時(shí)小球受到重力、水平方向的電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用，由于電場(chǎng)力的大小與重力的大小相等，所以洛倫茲力的方向一定與重力、電場(chǎng)力的合力的方向相反，大小相等，如圖：

由左手定則可知，小球運(yùn)動(dòng)的方向與x軸成45°角，洛倫茲力的大小：f=$\sqrt{2}$mg=$\sqrt{2}$×0.01×10=0.1$\sqrt{2}$N
又：f=qv₂B₂
所以：${B}_{2}=\frac{f}{q{v}_{2}}=\frac{0.1\sqrt{2}}{0.01×6\sqrt{2}}=\frac{5}{3}$T
小球在區(qū)域Ⅰ中仍然做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的半徑：$r′=\frac{m{v}_{2}}{q{B}_{1}}=\frac{0.01×6\sqrt{2}}{0.01×6.4}=\frac{3\sqrt{2}}{3.2}$
小球在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角是45°，由幾何關(guān)系可得：$\frac3thtxj5{r′}=sin45°$
所以：d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r′=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{3.2}=\frac{3}{3.2}$m=$\frac{15}{16}$m
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度是10N/C，區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小是6.4T；
（2）有界磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ的寬度是$\frac{15}{16}$m，區(qū)域Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂的大小是$\frac{5}{3}$T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意當(dāng)粒子在復(fù)合場(chǎng)中做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力與重力平衡．