Question

有一長(zhǎng)度為l=1m的木塊A，放在足夠長(zhǎng)的水平地面上．取一無蓋長(zhǎng)方形木盒B將A罩住，B的左右內(nèi)壁間的距離為L(zhǎng)=3m．A、B質(zhì)量相同，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為u_A=0.1和u_B=0.2．開始時(shí)A與B的左內(nèi)壁接觸，兩者以相同的初速度v₀=18m/s向右運(yùn)動(dòng)．已知A與B的左右內(nèi)壁發(fā)生的碰撞時(shí)間極短，且不存在機(jī)械能損失，A與B的其它側(cè)面無接觸．求：
（1）開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A、B發(fā)生第一次碰撞；
（2）第一次碰撞碰后的速度v_A和v_B；
（3）通過計(jì)算判斷A、B最后能否同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)？若能，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間停止運(yùn)動(dòng)？若不能，哪一個(gè)先停止運(yùn)動(dòng)？
（4）若僅v₀未知，其余條件保持不變，要使A、B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸（即無相互作用力），則初速度v₀應(yīng)滿足何條件？（只需給出結(jié)論，不要求寫出推理過程）

Answer 1

（1）木塊和木盒分別做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為：a_A=μ_Ag=1m/s² a_B=μ_Bg=2m/s²    
設(shè)經(jīng)過時(shí)間T發(fā)生第一次碰撞  則有：
L-l=S_A-S_B=V₀T-

1

2

aAT2-(V0T-

1

2

aBT2)
代入數(shù)據(jù)得：T=2s          
（2）碰前木塊和木盒的速度分別為：
V_A′=V₀-a_AT=16m/s    V_B′=V₀-a_BT=14m/s
相碰過程動(dòng)量守恒有：mv_A′+mv_B′=mv_A+mv_B
根據(jù)機(jī)械能守恒有：

1

2

mv

′

2A

+

1

2

mv

′

2B

=

1

2

m

v

2A

+

1

2

m

v

2B

代入數(shù)據(jù)得：v_A=v_B′=14m/s  方向向右                                     
v_B=v_A′=16m/s  方向向右                                               
（3）設(shè)第一次碰撞后又經(jīng)過T₁時(shí)間，兩者在左端相遇有：L-l=S_B-S_A
S_B=v_B T₁-

1

2

aB

T

21

S_A=v_A T₁-

1

2

aA

T

21

代入數(shù)據(jù)得；T₁=T=2s          
在左端相碰前：木塊、木盒速度分別為：v'_2A=v_A-a_AT'=12m/s   v'_2B=v_B-a_BT'=12m/s
可見木塊、木盒經(jīng)過時(shí)間t₁=2T在左端相遇接觸時(shí)速度恰好相同               
同理可得：木塊、木盒經(jīng)過同樣時(shí)間t₂=2T，第二次在左端相遇 v'_3A=v'_3B=6m/s
木塊、木盒第三次又經(jīng)過同樣時(shí)間t₃=2T在左端相遇，速度恰好為零．由上可知：木塊、木盒，最后能同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)                                              
經(jīng)歷的時(shí)間：t_總=6T=12s                                                 
（4）由（2）歸納可知：v₀=6K（K取：1，2，3…）                   
答：（1）開始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過2s時(shí)間A、B發(fā)生第一次碰撞；
（2）第一次碰撞碰后的速度v_A=14m/s  方向向右；v_B=16m/s  方向向右．
（3）木塊、木盒，最后能同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷的時(shí)間：t_總=6T=12s
 （4）初速度v₀=6K（K�。�1，2，3…）