Question

如圖所示，x軸上方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向與y軸平行；x軸下方有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、電量為-q（q＞0）的粒子以速度v₀從y軸上的P點(diǎn)平行x軸方向射入電場(chǎng)后，從x軸上的Q點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O離開(kāi)磁場(chǎng)．已知OP=L，OQ=2L．不計(jì)重力和一切摩擦，求：
（1）粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑
（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間
（4）粒子離開(kāi)P點(diǎn)后第一次到達(dá)Y軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）粒子先電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合求解粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小和方向
（2）在磁場(chǎng)中，粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合題意，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求解軌道半徑．
（3）由圖確定出軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，得出時(shí)間與周期的關(guān)系，從而求解時(shí)間．
（4）由幾何關(guān)系得到P點(diǎn)后第一次到達(dá)Y軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，到達(dá)Q時(shí)豎直分速度為v_y，速度大小為v，方向與x軸夾角為θ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
 水平方向有：2L=v₀t₁ 
 豎直方向有：L=

vy

2

t1  
 聯(lián)立解得：v_y=v₀，
則 v=

v 2 y + v 2 0

=

2

v₀     
   tanθ=

vy

v0

=1，得θ=45°   
（2）粒子在磁場(chǎng)中的軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑：R=

2

2

.

OQ

=

2

2

?2L=

2

L
（3）由圖知，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為270°，則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₂=

270°

360°

T=

3

4

T
由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)得：T=

2πR

v

=

2π? 2 L

2 v0

=

2πL

v0

        
故得 t₂=

3

4

T=

3

4

×

2πL

v0

=

3πL

2v0

                  
（4）由幾何關(guān)系得P點(diǎn)后第一次到達(dá)Y軸時(shí)的位置縱坐標(biāo)為：y=-

2

R=-

2

?

2

L=-2L
故粒子離開(kāi)P點(diǎn)后第一次到達(dá)Y軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，-2L）．
答：（1）粒子到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小為

2

v₀，方向與x軸夾角為45°．（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為

2

l．（3）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

3πl(wèi)

2v0

． （4）粒子離開(kāi)P點(diǎn)后第一次到達(dá)Y軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（0，-2L）．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的類型，電場(chǎng)中在正確運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法進(jìn)行研究，磁場(chǎng)中關(guān)鍵畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解相關(guān)的量．