Question

19．如圖所示，某貨場需將質(zhì)量為m₁=200kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑的$\frac{1}{4}$圓軌道，使貨物由軌道頂端無初速滑下，軌道半徑R=2.45m．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長度均為l=4.5m，質(zhì)量均為 m₂=200kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2．（設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，求μ₁應(yīng)滿足的條件．
（3）若μ₁=0.5，求貨物與木板B上表面之間摩擦產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出到達(dá)底端時(shí)的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，說明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力小于地面對(duì)木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，說明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力大于了地面對(duì)貨物的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)的范圍．
（3）當(dāng)μ₁=0.5時(shí)，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，分析木板的狀態(tài)，由牛頓第二定律和勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求出貨物相對(duì)于木板滑行的距離，即可求解熱量．

解答 解析：（1）設(shè)貨物滑到圓軌道末端時(shí)的速度為v₀，對(duì)貨物的下滑過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
 m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：v₀=7m/s…①
設(shè)貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得：
F_N-m₁g=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…②
聯(lián)立①②式，代入數(shù)據(jù)得：
F_N=3mg=6000N…③
根據(jù)牛頓第三定律，貨物對(duì)軌道的壓力大小為6000 N，方向豎直向下．
（2）若滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，由受力分析得：
μ₁m₁g≤μ₂（m₁+2m₂）g…④
若滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，由受力分析得
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g…⑤
聯(lián)立 ④⑤式，代入數(shù)據(jù)解得：0.4＜μ₁≤0.6…⑥
（3）若μ₁=0.5，由 ⑥式可知，貨物在木板 A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)，設(shè)貨物有木板A上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得：
μ₁m₁g=m₁a₁…⑦
設(shè)貨物滑到木板 A末端時(shí)的速度為 v₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
 v₁²-v₀²=-2a₁l…⑧
聯(lián)立①⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得：v₁=2m/s…⑨
貨物滑上木板 B時(shí)，做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小仍為a₁=5m/s²，木板B做加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a₂滿足：
μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂…⑩
解得：a₂=1 m/s²                                               
貨物在木板B上相對(duì)滑動(dòng)的時(shí)間 t₂滿足
v₁-a₁t₂=a₂t₂…（11）
解得：t₂=$\frac{1}{3}$s      
此時(shí)貨物和木板B的共同速度為：v₂=a₂t₂=$\frac{1}{3}$m/s…（12）
貨物在木板B上相對(duì)滑動(dòng)的距離為 
△s=$\frac{1}{2}（{v}_{1}+{v}_{2}）{t}_{2}$-$\frac{1}{2}（0+{v}_{2}）{t}_{2}$=$\frac{1}{3}$m＜l…（13）
說明貨物沒有滑出木板B，此后貨物和木板B共同做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到停止，貨物與木板B上表面之間摩擦產(chǎn)生的熱量為：
  Q=μ₁m₁g•△s=0.5×$200×10×\frac{1}{3}$J≈3.3×10²J…（14）
答：（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是6000N．
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足的條件為0.4＜μ₁≤0.6．
（3）若μ₁=0.5，貨物與木板B上表面之間摩擦產(chǎn)生的熱量為3.3×10²J．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．