Question

13．一個靜止的直角坐標參考系如圖所示，整個空間內(nèi)無重力場，但存在一個垂直于xOy平面向里的勻強磁場，磁感強度為B．一根光滑絕緣的空心細管沿y軸放置，長度為d，管的一端位于坐標原點O，其內(nèi)側置有一帶正電小球，視作質(zhì)點．在t=0時刻給細管一個沿+x軸方向的初速度v₀，經(jīng)過一段時間小球離開細管時相對參考系的速度大小為$\sqrt{2}$v₀．因小球質(zhì)量遠小于細管質(zhì)量，故可忽略小球?qū)�細管運動的影響．試求：
（1）判斷小球在管內(nèi)運動的過程中：小球所受的磁場力是否做功？
小球能量增加的來源？小球作何種性質(zhì)的運動？
（2）小球的比荷，以及在管內(nèi)運動時的軌跡方程；
（3）小球離開管后的軌跡方程，何時離坐標原點O最遠？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力的特點得到做功情況，然后根據(jù)受力得到運動和能量的轉(zhuǎn)化方向；
（2）由小球在豎直方向的受力，根據(jù)勻變速運動規(guī)律得到比荷，再將水平、豎直方向的分運動聯(lián)立消去時間t，即可求得軌跡方程；
（3）根據(jù)小球離開細管時的速度、位置，由洛倫茲力做向心力求得半徑，即可得到小球做圓周運動的圓心，從而得到軌跡方程及最遠點，然后根據(jù)中心角求得運動時間．

解答 解：（1）小球所受磁場力垂直于小球速度方向，故磁場力不做功；
小球運動過程中只受細管和洛倫茲力作用，故小球能量增加的來源是細管的動能；
在水平方向上：小球隨細管做勻速直線運動；在豎直方向上：小球在洛倫茲力作用下做勻加速運動，故小球做類平拋運動；
（2）小球在豎直方向上受到的洛倫茲力為F=Bv₀q，故小球在豎直方向上做加速度$a=\frac{B{v}_{0}q}{m}$的勻加速運動；
小球離開細管時相對參考系的速度為v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，故豎直分速度v_y=v₀；
所以由勻變速運動規(guī)律可得：${{v}_{y}}^{2}=2ad$，故$\frac{q}{m}=\frac{a}{B{v}_{0}}=\frac{{v}_{0}}{2Bd}$；
小球在豎直方向上做勻加速運動，故有$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{B{v}_{0}q}{m}•（\frac{x}{{v}_{0}}）^{2}=\frac{1}{2}•\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2d}•\frac{{x}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}=\frac{{x}^{2}}{4d}$；
（3）小球離開細管后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，故有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，運動周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$=$\frac{4πd}{{v}_{0}}$；
由小球做類平拋運動及末速度可知小球在細管中的運動時間${t}_{1}=\frac{2d}{{v}_{0}}$，離開細管時的坐標為（2d，d），小球做圓周運動的半徑$R=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=2\sqrt{2}d$；
那么，小球做圓周運動的圓心為（0，3d）；所以，小球運動到$（0，3d+2\sqrt{2}d）$時轉(zhuǎn)過的中心角為$2nπ+\frac{3}{4}π，n=0，1，2，3…$，此時離坐標原點最遠；
所以，小球離開細管后的軌跡方程為x²+（y-3d）²=8d²；
運動到離坐標原點最遠的時間$t={t}_{1}+\frac{2nπ+\frac{3}{4}π}{2π}T=[2+4π（n+\frac{3}{8}）]\fracxvjf1em{{v}_{0}}$=$\frac{4+（8n+3）π}{2}•\fracaniaw8t{{v}_{0}}，n=0，1，2，3…$
答：（1）小球在管內(nèi)運動的過程中：小球所受的磁場力不做功；
小球能量增加的來源是細管的動能；小球做類平拋運動；
（2）小球的比荷為$\frac{{v}_{0}}{2Bd}$，在管內(nèi)運動時的軌跡方程為$y=\frac{{x}^{2}}{4d}$；
（3）小球離開管后的軌跡方程為x²+（y-3d）²=8d²；在$t=\frac{4+（8n+3）π}{2}•\fracwjdz9qh{{v}_{0}}，n=0，1，2，3…$時離坐標原點O最遠．

點評 帶電粒子的運動問題，加速電場一般由動能定理或勻加速運動規(guī)律求解；偏轉(zhuǎn)電場由類平拋運動規(guī)律求解；磁場中的運動問題則根據(jù)圓周運動規(guī)律結合幾何條件求解．