Question

17．如圖甲所示，在直角坐標(biāo)系0≤x≤L區(qū)域內(nèi)有沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，右側(cè)有一個(gè)以點(diǎn)（3L，0）為中心、邊長(zhǎng)為2L的正方形區(qū)域，其邊界ab與x軸平行，正方形區(qū)域與x軸的交點(diǎn)分別為M、N．在該正方形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點(diǎn)以速度v₀沿x軸正方向射入電場(chǎng)，飛出電場(chǎng)后從M點(diǎn)以與x軸夾角為30°的方向進(jìn)入正方形區(qū)域，并恰好從d點(diǎn)射出．
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)E的大��；
（2）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的大�。�
（3）若當(dāng)電子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，在正方形區(qū)域換加如圖乙所示周期性變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，求正方形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀大小的表達(dá)式、磁場(chǎng)變化周期T與B₀的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）電子在電場(chǎng)中作類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)水平位移和豎直位移，由位移公式和牛頓第二定律結(jié)合求解勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)；
（2）畫(huà)出電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力列式，求解B的大小．
（3）在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)電子的偏轉(zhuǎn)角為60°，由幾何知識(shí)得到在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期內(nèi)，粒子在x軸方向上的位移等于電子的軌跡半徑R，由題意，粒子到達(dá)N點(diǎn)而且速度符合要求的空間條件是：nR=2L，由牛頓第二定律得到半徑R=$\frac{mv}{e{B}_{0}^{\;}}$，聯(lián)立得到磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小表達(dá)式．

解答 解：（1）電子飛出電場(chǎng)的方向與x軸成30°

根據(jù)幾何關(guān)系$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=tan30°$             
豎直分速度  ${v}_{y}^{\;}=\frac{eE}{m}t$             
水平位移 $L={v}_{0}^{\;}t$
解得：$E=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$
（2）設(shè)電子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v，則$\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}=cos30°$
由幾何關(guān)系得$\frac{\frac{L}{2}}{R}=cos30°$
根據(jù)牛頓第二定律得$Bev=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{eL}$
（3）若電子從N點(diǎn)飛出，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)如圖所示

又根據(jù)邊角關(guān)系可得
nR=2L（n=1，2，3…）
$n\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{e{B}_{0}^{\;}\sqrt{3}}=2L$（n=1、2、3…）
整理得${B}_{0}^{\;}=n\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{3eL}$（n=1、2、3…）
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)E的大小$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的大小$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{eL}$；
（3）若當(dāng)電子到達(dá)M點(diǎn)時(shí)，在正方形區(qū)域換加如圖乙所示周期性變化的磁場(chǎng)（以垂直于紙面向外為磁場(chǎng)正方向），最后電子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后從N點(diǎn)飛出，正方形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀大小的表達(dá)式、磁場(chǎng)變化周期T與B₀的關(guān)系式${B}_{0}^{\;}=n\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{3eL}$（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng) 電子在電場(chǎng)中，關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著水平方向和豎直方向正交分解，然后根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式分析求解；在磁場(chǎng)中，關(guān)鍵要畫(huà)出軌跡圖分析，特別是第三小題，要抓住周期性，根據(jù)幾何關(guān)系求解電子的半徑滿足的條件．