Question

9．某行星繞太陽運動，近日點的速度是v，行星運動軌道的半長軸和半短軸分別是a和b，求：
（1）行星在遠(yuǎn)日點的速度v₁
（2）行星在半短軸處的速度v₂．

Answer 1

分析 行星繞太陽沿橢圓軌道運動時，它和太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，運用微元法計算速度．

解答 解：根據(jù)開普勒第二定律，行星繞太陽沿橢圓軌道運動時，它和太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等．如圖所示，

分別以近日點A和遠(yuǎn)日點B為中心，取一個很短的時間△t，在該時間內(nèi)掃過的面積如圖中的兩個曲邊三角形所示．由于時間極短，可把這段時間內(nèi)的運動看成勻速率運動，
從而有$\frac{1}{2}（a-c）v△t=\frac{1}{2}（a+c）{v}_{1}△t$，
所以，該行星經(jīng)過遠(yuǎn)日點時的速度大小為${v}_{1}=\frac{a-c}{a+c}v$．
同理，如圖

${v}_{2}=\frac{a-c}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}v$．
答：（1）行星在遠(yuǎn)日點的速度為$\frac{a-c}{a+c}v$，
（2）行星在半短軸處的速度為$\frac{a-c}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}v$．

點評 本題要掌握橢圓方程及橢圓的數(shù)學(xué)含義，知道微元的思想方法．