Question

8．如圖甲所示，質(zhì)量為M=0.5kg的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m=1kg的物塊以初速度v₀=4m/s滑上木板的左端，物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.2，在物塊滑上木板的同時，給木板施加一個水平向右的恒力F．當(dāng)恒力F取某一值時，物塊在木板上相對于木板滑動的路程為s，給木板施加不同大小的恒力F，得到$\frac{1}{s}$-F的關(guān)系如圖乙所示，其中AB與橫軸平行，且AB段的縱坐標(biāo)為1m^-1．將物塊視為質(zhì)點，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度g=10m/s²．
（1）物塊在木板上滑動時的加速度多大？
（2）若恒力F=0，則物塊會從木板的右端滑下，求物塊在木板上滑行的時間是多少？
（3）圖乙中BC為直線段，求該段恒力F的取值范圍及$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）對物塊進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度；
（2）若恒力F=0，則物塊會從木板的右端滑下，分別對物塊與木板進行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度，然后由相對位移關(guān)系即可求出；
（3）由圖象可看出當(dāng)F小于某一值時，m物體在板上的路程始終等于板長S，當(dāng)F等于某一值時，剛好不從木板右端掉下，此后一起相對靜止并加速運動，根據(jù)牛頓第二定律及運動學(xué)基本公式，抓住位移之間的關(guān)系列式，聯(lián)立方程求出B在A上相對A向右運動的路程S與F、v₀的關(guān)系式，把S=1m帶入即可求解F；
當(dāng)F₁≤F≤_F2時，隨著F力增大，S減小，之后，出現(xiàn)S突變，說明此時物塊、木板在達到共同速度后，恰好再次發(fā)生相對運動，物塊將會從木板左端掉下．
當(dāng)二者恰好發(fā)生相對運動時，木板的加速度與整體加速度相同，由牛頓第二定律列式即可求．

解答 解：（1）物塊只受水平向左的滑動摩擦力，設(shè)物塊的加速度大小為a_m，由牛頓第二定律F=ma，即μmg=ma_m，
解得：${a}_{m}=μg=2m/{s}^{2}$．
（2）若恒力F=0，木板只受水平向右的滑動摩擦力，設(shè)木板的加速度大小為a_M，由牛頓第二定律F=ma，即μmg=Ma_M，
解得：${a}_{M}=4m/{s}^{2}$．
即物塊向右做勻減速直線運動，木板向右做勻加速直線運動，當(dāng)物塊從木板的右端滑下時，x_物-x_木=L
由位移時間關(guān)系$x={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，可知${x}_{物}={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}$，${x}_{木}=\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
由圖乙知，板長L=1m，所以可得：$L={v}_{0}t-\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${t}_{1}=\frac{1}{3}s$，t₂=1s
當(dāng)t=1s時，滑塊的速度為2m/s，木板的速度為4m/s，而當(dāng)物塊從木板右端滑離時，滑塊的速度不可能小于木板的速度，所以t=1s舍去，故所求時間為$t=\frac{1}{3}s$．
（3）①當(dāng)F較小時，物塊將從木板右端滑下，當(dāng)F增大到某一值時物塊恰好到達木板的右端，且兩者具有共同速度v，歷時t₁，
在此過程中，設(shè)木板的加速度為a_M′，由牛頓第二定律F=ma，知 F+μmg=Ma_M′，小物塊的加速度不變．
當(dāng)兩者共速時，v=v₀-a_mt₁=a_Mt₁，$s=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}-\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$，
聯(lián)立解得：$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$
由圖乙知，相對路程：s≤1m，代入解得：F≥1N．
②當(dāng)F繼續(xù)增大時，物塊減速、木板加速，兩者在木板上某一位置具有共同速度；當(dāng)兩者共速后能保持相對靜止（靜摩擦力作用）一起以相同加速度a做勻加速運動，把兩個物體看成一個整體，由牛頓第二定律F=ma，可知F=（M+m）a
又f=ma，由于靜摩擦力存在最大值，所以：f≤f_max=2N，
聯(lián)立解得：F≤3N       
 由以上可知BC段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$  
答：（1）物塊在木板上滑動時的加速度為2m/s²．
（2）若恒力F=0，則物塊會從木板的右端滑下，求物塊在木板上滑行的時間是$\frac{1}{3}$s．
（3）圖乙中BC為直線段，該段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式為$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$．

點評 本題考查的是牛頓運動定律中典型的滑塊模型，滑塊問題的解決非常靈活多變，特別是摩擦力的分析，都是難點所在，本題通過圖象來分析滑塊的運動，能從圖中讀懂物體的運動非常關(guān)鍵．