Question

(22分) 如圖所示，水平放置的橫截面積為S的帶有活塞的圓筒形絕熱容器中盛有1mol 的理想氣體．其內(nèi)能，C為已知常量，T為熱力學(xué)溫度．器壁和活塞之間不漏氣且存在摩擦，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等且皆為F．圖中r為電阻絲，通電時(shí)可對(duì)氣體緩慢加熱．起始時(shí)，氣體壓強(qiáng)與外界大氣壓強(qiáng)p₀相等，氣體的溫度為T(mén)₀．現(xiàn)開(kāi)始對(duì)r通電，已知當(dāng)活塞運(yùn)動(dòng)時(shí)克服摩擦力做功所產(chǎn)生熱量的一半被容器中的氣體吸收．若用Q表示氣體從電阻絲吸收的熱量，T表示氣體的溫度，試以T為縱坐標(biāo)，Q為橫坐標(biāo)，畫(huà)出在Q不斷增加的過(guò)程中T和Q的關(guān)系圖線．并在圖中用題給的已知量及普適氣體常量R標(biāo)出反映圖線特征的各量（不要求寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程）．

Answer 1

答案如圖所示．

附計(jì)算過(guò)程：

       電阻通電后對(duì)氣體緩慢加熱，氣體的溫度升高，壓強(qiáng)增大，活塞開(kāi)始有向外運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，但在氣體對(duì)活塞的作用力尚未達(dá)到外界大氣對(duì)活塞的作用力和器壁對(duì)活塞的最大靜摩擦之和以前，活塞不動(dòng)，即該過(guò)程為等容過(guò)程．因氣體對(duì)外不做功，根據(jù)熱力學(xué)第一定律可知，在氣體溫度從T₀升高到T的過(guò)程中，氣體從電阻絲吸收的熱量， 

       (1)

此過(guò)程將持續(xù)到氣體對(duì)活塞的作用力等于外界大氣對(duì)活塞的作用力和器壁對(duì)活塞的最大靜摩擦之和．若用T₁表示此過(guò)程達(dá)到末態(tài)的溫度，p表示末態(tài)的壓強(qiáng)，Q₁表示此過(guò)程中氣體從電阻絲吸收的熱量，由等容過(guò)程方程有

       (2)

由力的平衡可知

       (3)

由（2）、（3）兩式可得

        (4)

代入(1)式得

         (5)

由以上討論可知，當(dāng)時(shí)，T與Q的關(guān)系為

                         (6)

在圖中為一直線如圖中所示，其斜率

           (7)

直線在T軸上的截距等于T₀，直線ab的終點(diǎn)b的坐標(biāo)為（T₁，Q₁）．

當(dāng)電阻絲繼續(xù)加熱，活塞開(kāi)始向外運(yùn)動(dòng)以后，因?yàn)檫^(guò)程是緩慢的，外界大氣壓及摩擦力皆不變，所以氣體的壓強(qiáng)不變，仍是p，氣體經(jīng)歷的過(guò)程為等壓過(guò)程．在氣體的體積從初始體積V₀增大到V，溫度由T₁升高到T的過(guò)程中，設(shè)氣體從電阻絲吸收的熱量為，活塞運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與器壁摩擦生熱的一半熱量為q，由熱力學(xué)第一定律可知

       (8)

q可由摩擦力做功求得，即

       (9)

代入（8）式得

       (10)

由狀態(tài)方程式可知

                            (11)

將（11）式和（4）式代入（10）式，得

即

       （12）

從開(kāi)始對(duì)氣體加熱到氣體溫度升高到T( >T₁)的過(guò)程中，氣體從電阻絲吸收的總熱量

       （13）

把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5），得

（14）

由此可知，當(dāng)時(shí)，T與Q的關(guān)系仍為一直線，此直線起點(diǎn)的坐標(biāo)為，；斜率為

       （15）

       在圖中，就是直線bd，當(dāng)熱量Q從零開(kāi)始逐漸增大，氣體溫度T 將從起始溫度T₀沿著斜率為K_ab的直線上升到溫度為T(mén)₁的b點(diǎn)，然后沿著斜率為K_bd的直線上升，如圖所示．