Question

13．如圖所示，在水平地面上有一段光滑圓弧形槽NM，弧的半徑是R，所對(duì)圓心角很小，現(xiàn)在圓弧的右側(cè)邊緣M處放一個(gè)小球A，使其由靜止下滑，則：
①小球由M至O的過(guò)程中所需時(shí)間t為多少？在此過(guò)程中能量如何轉(zhuǎn)化（定性說(shuō)明）？
②若在MN圓弧上存在兩點(diǎn)P、Q，且P、Q關(guān)于O對(duì)稱，且已測(cè)得小球A由P直達(dá)Q所需時(shí)間為△t，則小球由Q至N的最短時(shí)間為多少？

Answer 1

分析 由題意知，光滑圓弧形槽弧的半徑是R，所對(duì)圓心角很小，小球A在MN兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，類似于擺長(zhǎng)為R的單擺，小球A從M到O的時(shí)間為$\frac{1}{4}$周期，周期T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由A→O的過(guò)程中球A的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；
小球A在PQ兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，類似于擺長(zhǎng)為R的單擺，P、Q關(guān)于O對(duì)稱，從Q到O的時(shí)間為$\frac{△t}{2}$．

解答 解：①由單擺周期公式知球A的周期為：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，則有：t_MO=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在由M→O的過(guò)程中球A的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；
②A做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為：T=2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$
則球由Q至N的最短時(shí)間為：t_min=$\frac{1}{4}$T-$\frac{△t}{2}$=$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．
答：①小球由M至O的過(guò)程中所需時(shí)間為$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$，在此過(guò)程中球A的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；
②小球由Q至N的最短時(shí)間為$\frac{π}{2}$$\sqrt{\frac{R}{g}}$-$\frac{△t}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 光滑圓弧形槽所對(duì)圓心角小于10°時(shí)類似單擺，做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，等效擺長(zhǎng)等于半徑，具有周期性，注意對(duì)稱性的運(yùn)用．