Question

13．質點從靜止出發(fā)，沿直線由A點向B點運動．質點先以加速度a₁做勻加速直線運動，然后做勻速直線運動，最后以加速度a₂做勻減速直線運動到B點恰好停下．已知AB相距為s，那么要使質點從A點到B點所用時間最短，求：
（1）質點勻速運動的時間是多少？
（2）質點從A點到B點所用最短時間為多少？期間最大速度是多少？

Answer 1

分析 要使質點由A到達B的時間最短，質點必須沒有勻速過程，只有勻加速運動和勻減速運動，即質點先做勻加速直線運動，后做勻減速直線運動，根據速度公式得到勻加速運動的時間與總時間t的關系，并求出最大速度，根據平均速度公式求出最短時間t．

解答 解：（1）質點從A點到B點所用時間最短，勻速運動的時間為零，只有勻加速運動和勻減速運動．
（2）設最大速度為v，根據平均速度的推論知，$\frac{v}{2}{t}_{1}+\frac{v}{2}{t}_{2}=\frac{v}{2}t=s$，
又$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=s$，
解得v=$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}s}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$，最短時間t=$\sqrt{\frac{2（{a}_{1}+{a}_{2}）s}{{a}_{1}{a}_{2}}}$．
答：（1）質點勻速運動的時間為零．
（2）質點從A點到B點所用最短時間為$\sqrt{\frac{2（{a}_{1}+{a}_{2}）s}{{a}_{1}{a}_{2}}}$，最大速度為$\sqrt{\frac{2{a}_{1}{a}_{2}s}{{a}_{1}+{a}_{2}}}$．

點評 本題涉及兩個過程的運動學問題，關鍵要抓住兩個過程之間速度聯(lián)系．也可以運用作速度圖象的方法求解．