Question

15．如圖所示，兩根光滑水平導(dǎo)軌與一個(gè)傾角為α的金屬框架abcd連接（連接處呈圓弧形）．勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅分布于框架所在斜面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B跟框架面垂直．框架邊ab、cd長(zhǎng)均為L(zhǎng)，電阻均為2R，框架其余部分電阻不計(jì)．有一根質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN平行于ab放置，讓它以初速v₀沖上框架，在到達(dá)最高點(diǎn)的過程中，框架邊ab發(fā)出的熱量為Q．試求：
（1）金屬棒MN受到的最大安培力的大小和方向；
（2）金屬棒MN上升的最大高度；
（3）金屬棒MN剛沖上框架時(shí)ab部分的發(fā)熱功率．

Answer 1

分析 （1）金屬棒MN沖上導(dǎo)軌后在安培力作用下做減速運(yùn)動(dòng)，剛沖上導(dǎo)軌時(shí)速度最大，安培力最大，由法拉第定律、歐姆定律和安培力公式結(jié)合求解．
（2）根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)求出整個(gè)電路產(chǎn)生的總熱量，再根據(jù)能量守恒定律求最大高度．
（3）根據(jù)法拉第定律、歐姆定律和電路的連接關(guān)系求出通過ab的電流，從而求出ab的發(fā)熱功率．

解答 解：（1）金屬棒MN剛沖上導(dǎo)軌時(shí)速度最大，安培力最大．
此時(shí)電路中總電阻為 R_總=$\frac{2R•2R}{2R+2R}$+R=2R
最大安培力 F_A=BIL=B$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{總}(cāng)}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$
由楞次定律知，MN棒受到的安培力方向沿導(dǎo)軌向下．
（2）設(shè)ab棒中電流為I．
ab中產(chǎn)生的熱量  Q_ab=Q=I²•2R
整個(gè)電路中產(chǎn)生的總熱量 Q_總=2Q_ab+Q_R=2Q+（2I）²R=4Q
根據(jù)能量守恒定律得：
  mgh+4Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  h=$\frac{m{v}_{0}^{2}-8Q}{2mg}$
（3）金屬棒MN剛沖上框架時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLv₀；
MN棒中感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{BL{v}_{0}}{2R}$
ab部分的發(fā)熱功率 P_ab=${（\frac{I}{2}）^2}{R_{ab}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{8R}$
答：
（1）金屬棒MN受到的最大安培力的大小是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{2R}$，方向沿導(dǎo)軌向下；
（2）金屬棒MN上升的最大高度是$\frac{m{v}_{0}^{2}-8Q}{2mg}$；
（3）金屬棒MN剛沖上框架時(shí)ab部分的發(fā)熱功率是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{8R}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，往往是電磁感應(yīng)、磁場(chǎng)、電路和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，要理清電路的連接方式，分辨清楚哪部分電路是電源，哪部分是外電路，能熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系．同時(shí)，要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化，搞清各個(gè)部分電路功率的關(guān)系，要有解決復(fù)雜綜合題的能力．