Question

如圖所示，豎直面內(nèi)有一粗糙斜面AB，BCD部分是一個光滑的圓弧面，C為圓弧的最低點，AB正好是圓弧在B點的切線，圈心點O與A、D點在同一高度，∠OAB=37°，圓弧面的半徑R=3.6m，一小滑塊質(zhì)量m=5kg，與A斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.45，將滑塊由A點靜止釋放，求在以后的運動中（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）滑塊在AB段上運動的總路程；
（2）在滑塊運動過程中，C點受到的壓力的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由幾何知識得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據(jù)動能定理求解總路程．
（2）當物體第一次經(jīng)過C點時，速度最大，對C點的壓力最大，當最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運動時，經(jīng)過C點時速度最小，物體對C點的壓力最小，根據(jù)動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：解：（1）由于滑塊在AB段受摩擦力作用，則滑塊往復振蕩的高度將越來越低，最終以B為最高點在光滑的圓弧段往復運動，設滑塊在AB上運動的總路程為s．
滑塊在AB段上受摩擦力，f=μF_N=μmgcosθ
從A點出發(fā)到最終以B點為最高點振蕩，根據(jù)能量守恒有：△E_p=fs
即：mgRcosθ=fs
解得s=

mgRcosθ

f

=8m   
（2）滑塊第一次過C點時，速度最大，設為v₁，分析受力知此時小球受軌道支持力最在，設在F_max，從A到C，根據(jù)動能定理有：mgR-flAB=

1

2

m

v

2 1

根據(jù)受力以及向心力公式知：Fmax-mg=

m v 2 1

R

聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得：F_max=102N   
當滑塊以B為最高點往復運動的過程中過C點時速度最小，設為v₂．
此時小球受軌道支持力也最小，設為F_min
從B到C，根據(jù)動能定理有：mgR(1-cosθ)=

1

2

m

v

2 2

根據(jù)受力及向心力公式有：Fmin-mg=

m v 2 2

R

聯(lián)立兩式并代入數(shù)據(jù)得：F_min=70N　　　
根據(jù)牛頓第三定律可知C點受到的壓力最大值為102N，最小值為70N
答：（1）滑塊在AB段上運動的總路程為8m；
（2）在滑塊運動過程中，C點受到的壓力的最大值為102N，最小值70N．

點評：本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關這一特點．