Question

16．如圖，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球A、B固定在彎成120°角的絕緣輕桿兩端，OA和OB的長(zhǎng)度均為l，可繞過(guò)O點(diǎn)且與紙面垂直的水平軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣阻力不計(jì)．設(shè)A球帶正電，B球帶負(fù)電，電量均為q，處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)E=$\frac{mg}{3q}$．開(kāi)始時(shí)，桿OB與豎直方向的夾角θ=60°．
（1）為使系統(tǒng)平衡，在A點(diǎn)施一作用力F，則F至少多大？方向如何？
（2）設(shè)O點(diǎn)電勢(shì)為零，此系統(tǒng)在圖示位置處電勢(shì)能是多少？
（3）若撤去外力F，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)多大角度時(shí)，A球的速度最大？最大值是多少？
（4）若撤去外力F，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)多大角度時(shí)，系統(tǒng)電勢(shì)能最��？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)共點(diǎn)力平衡即可判斷外力大小和方向；
（2）由于AB兩球在同一等勢(shì)面上，根據(jù)E=qφ求得電勢(shì)能；
（3）A、B兩球速度相等，A球的速度最大，即系統(tǒng)速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理求得；
（4）當(dāng)A與豎直方向成α角時(shí)，系統(tǒng)速度為零，不再上升，根據(jù)動(dòng)能定理求得

解答 解：（1）以O(shè)為轉(zhuǎn)軸  M_GA+M_EA+M_EB-M_GB-M_F=0
則  2qElsin60°=Fl①
$E=\frac{mg}{3q}$②
①、②解之  $F=\frac{{\sqrt{3}}}{3}mg$
 方向垂直O(jiān)A桿斜向上 
（2）O點(diǎn)電勢(shì)為零，由于AB兩球在同一等勢(shì)面上，根據(jù)E=qφ求得ε_A=-ε_B
ε_總=0           
（3）A、B兩球速度相等，A球的速度最大，即系統(tǒng)速度最大，此時(shí)∑M=0，即M_A=M_B
設(shè)此時(shí)OA桿與水平線夾角為β，則$（qE+mg）lcosβ=（mg-qE）lcos（β-\frac{π}{3}）$
$tanβ=\sqrt{3}$
β=60°
即A轉(zhuǎn)過(guò)的角度為  60°-30°=30°     
$（qE+mg）l（cos30°-cos60°）-（mg-qE）lcos60°=\frac{1}{2}mυ_A^2×2$
${υ_A}=\sqrt{（\frac{{2\sqrt{3}-3}}{3}）gl}$
（4）當(dāng)A與豎直方向成α角時(shí)，系統(tǒng)速度為零，不再上升$\frac{4}{3}mgl（cosα-cos60°）=\frac{2}{3}mgl[{sin30°+sin（30°-α）}]$
α=0°
A在最低點(diǎn)，B與水平成30°角位置ε_A＜0，ε_B＜0，系統(tǒng)電勢(shì)能最小${ε_(tái)A}=-qEl=-\frac{1}{3}mgl$${ε_(tái)B}=-qElsin30°=-\frac{1}{6}mgl$
${ε_(tái){min}}={ε_(tái)A}+{ε_(tái)B}=-\frac{1}{2}mgl$
答：（1）為使系統(tǒng)平衡，在A點(diǎn)施一作用力F，則F至少為$\frac{\sqrt{3}mg}{3}$，方向垂直O(jiān)A桿斜向上
（2）設(shè)O點(diǎn)電勢(shì)為零，此系統(tǒng)在圖示位置處電勢(shì)能是0
（3）若撤去外力F，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)30°角度時(shí)，A球的速度最大，最大值是$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}-3}{3}）gl}$
（4）若撤去外力F，系統(tǒng)轉(zhuǎn)過(guò)0°角度時(shí)，系統(tǒng)電勢(shì)能最小，最小值是$-\frac{1}{2}mgl$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了力矩平衡與動(dòng)能定理的綜合，通過(guò)力矩平衡求解出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。离妶�(chǎng)力做功與重力做功的特點(diǎn)，運(yùn)用動(dòng)能定理解題