Question

17．飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T．如果飛船要返回地面，可在軌道上的某一點A處，將速率降低到適當(dāng)數(shù)值，從而使飛船沿著以地心為焦點的橢圓軌道運動，橢圓軌道和地球表面在B點相切，已知地球的質(zhì)量為M，地球半徑為R₀，引力常量為G．求：
（1）飛船在圓形軌道上運動時經(jīng)過A點處的加速度大小．
（2）飛船由A點到B點所需要的時間．

Answer 1

分析 飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，根據(jù)圓周運動的公式求解船在圓形軌道上運動時經(jīng)過A點處的加速度大小；
根據(jù)開普勒第三定律，結(jié)合橢圓軌道半長軸的大小，求出飛船在橢圓軌道上的周期，從而求出飛船由A點到B點所需的時間．

解答 解：（1）飛船沿半徑為R的圓周繞地球運動，其周期為T，飛船在圓形軌道上運動時經(jīng)過A點處的加速度大小為：a=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R，
（2）根據(jù)題意得橢圓軌道的半長軸r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$．
根據(jù)開普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T′}^{2}}$，
因為r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$，
解得：T′=$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
則飛船由A點到B點的運動時間為：t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
答：（1）飛船在圓形軌道上運動時經(jīng)過A點處的加速度大小是$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R．
（2）飛船由A點到B點所需要的時間是$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．

點評 由題目的描述，飛船由A點到B點所需的時間應(yīng)是橢圓軌道的半個周期．關(guān)鍵掌握開普勒第三定律，并能靈活運用．