Question

3．如圖所示，在光滑的水平面上放置一個質量為m₀=1.2kg的π型剛性金屬導軌ABCD，兩平行導軌AB與CD間距離為L=0.4m，質量m=0.6kg的金屬桿MN與導軌間的動摩擦因數μ=0.2，圖中虛線（與導軌垂直）的右側有范圍足夠大豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B=0.5T，桿MN初始時位于虛線處，受到與導軌平行向右的拉力F作用，由靜止開始做勻加速運動，運動到t₁=1s是拉力F的大小為F₁=4.2N，BC邊最初與虛線相距x₀=2m，運動中電路接觸良好，BC邊的電阻R=0.1Ω，其余部分電阻不計，MN始終與導軌垂直，不考慮自感，取g=10m/s²．
（1）運動t₁=1s時桿MN與邊BC間的距離是多少？
（2）BC剛好進入磁場時，系統動能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$=？

Answer 1

分析 （1）先對MN，由牛頓第二定律和安培力與速度的關系式，求出加速度，再對導軌，由牛頓第二定律求出加速度，運用運動學位移時間公式分別求出MN與導軌的位移，由幾何知識求桿MN與邊BC間的距離．
（2）根據動能定理可知系統動能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$等于合外力做功的瞬時功率．先由位移公式求出BC進入磁場的用時，由速度公式求出此時MN的速度，由上題結果求出拉力大�。�再對導軌研究，得到BC剛進入磁場時產生的感應電動勢，求得回路總的電動勢，求得導軌受到的合外力．可得到MN與導軌合外力做功功率，即為所求解．

解答 解：（1）運動t₁=1s時桿MN受到的安培力 F_安=BIL=B$\frac{BLv}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
對桿，由牛頓第二定律得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma₁ ①
而 v=at ②
聯立得 F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{a}_{1}t}{R}$=ma₁ ③
將t₁=1s，F₁=4.2N，B=0.5T，L=0.4m，m=0.6kg代入得 a₁=3m/s²；
對導軌，由牛頓第二定律得：a₂=$\frac{μmg}{{m}_{0}}$=1m/s²；
在t₁=1s桿MN和導軌的位移分別為
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=1.5m
x₂=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=0.5m
故t₁=1s時桿MN與邊BC間的距離是 x=x₀+x₁-x₂=3m
（2）設BC經時間t₂進磁場．則 x₀=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，得 t₂=2s
此時桿的速度 v₁=a₁t₂=6m/s
導軌的速度 v₂=a₂t₂=2m/s
將v₁=6m/s代入③得 拉力 F₂=5.4N
BC進入磁場時，BC產生的感應電動勢E₂與桿MN產生的感應電動勢E₁反向，回路總電動勢 E=E₂-E₁=BL（v₂-v₁）=0.8V
感應電流 I=$\frac{E}{R}$=8A
桿和導軌所受的安培力大小 F_安=BIL=1.6N，它們之間的摩擦力大小 f=μmg=1.2N
故此時MN的合力 F_合1=F₂-F_安-f=2.6N
BC的合力 F_合2=F_安+f=2.8N
由于兩個合力與速度同向，則由動能定理得：P₁△t+P₂△t=△E
則得 $\frac{△E}{△t}$=P₁+P₂=F_合1v₁+F_合2v₂=21.2W
答：
（1）運動t₁=1s時桿MN與邊BC間的距離是3m．
（2）BC剛好進入磁場時，系統動能的增加率$\frac{△{E}_{1}}{△t}$為21.2W．

點評 解決本題的關鍵要正確棒與導軌的受力情況，結合運動情況，由牛頓第二定律和運動學公式結合解答，要注意動能的變化率實質等于合力的功率．