Question

20．如圖所示，傾角為θ=30°、足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L₁=0.4m，B₁=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直導(dǎo)軌平面向上．一質(zhì)量m=1.6kg的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，其電阻r=1Ω．金屬導(dǎo)軌上端連接右側(cè)電路，R₁=1Ω，R₂=1.5Ω．R₂兩端通過細(xì)導(dǎo)線連接質(zhì)量M=0.6kg的正方形金屬框cdef，每根細(xì)導(dǎo)線能承受的最大拉力F_m=3.6N，正方形邊長L₂=0.2m，每條邊電阻r₀=1Ω，金屬框處在一方向垂直紙面向里、B₂=3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．現(xiàn)將金屬棒由靜止釋放，不計(jì)其他電阻及滑輪摩擦，取g=10m/s²．求：
（1）電鍵S斷開時(shí)棒ab下滑過程中的最大速度v_m；
（2）電鍵S閉合，細(xì)導(dǎo)線剛好被拉斷時(shí)棒ab的速度v；
（3）若電鍵S閉合后，從棒ab釋放到細(xì)導(dǎo)線被拉斷的過程中棒ab上產(chǎn)生的電熱Q=2J，此過程中棒ab下滑的高度h．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，加速度減小，后勻速下滑，速度達(dá)到最大．由歐姆定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和安培力公式推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）將每根細(xì)導(dǎo)線能承受的最大拉力F_m=3.6N代入（1）的結(jié)論，并結(jié)合電路的特點(diǎn)即可解答；
（3）金屬棒由靜止開始下滑s的過程中，重力和安培力對(duì)棒做功，棒的重力勢(shì)能減小轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒列式可求出ab棒下滑的高度h．

解答 解：（1）電鍵S斷開時(shí)，ab棒沿導(dǎo)軌變加速下滑，速度最大時(shí)合力為0，根據(jù)物體平衡條件和法拉第電磁感應(yīng)定律有：mgsinθ-B₁IL₁=0…①
又：E_m=B₁L₁v_m…②
$I=\frac{E_m}{{r+{R_1}+{R_2}}}$…③
聯(lián)解①②③代入數(shù)據(jù)得：
v_m=7m/s…④
（2）閉合S后，ab棒沿導(dǎo)軌下滑切割磁感線，R₂與線框cd邊及cfed部分組成并聯(lián)電路，設(shè)并聯(lián)部分電阻為R，細(xì)導(dǎo)線剛被拉斷時(shí)通過ab棒的電流為I₁，通過R₂的電流為I₂，通過金屬框部分的電流為I₃，則：E=B₁L₁v…⑤
$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{r_0}+\frac{1}{{3{r_0}}}$…⑥
${I_1}=\frac{E}{{r+{R_1}+R}}$…⑦
I₁=I₂+I₃…⑧
對(duì)金屬框，由物體平衡條件有：2F_m-Mg-B₂I₃L₂=0…⑨
聯(lián)解⑤⑥⑦⑧⑨代入數(shù)據(jù)得：v=3.75m/s…⑩
（3）當(dāng)棒下滑高度為h時(shí)，棒上產(chǎn)生的熱量為Q，R₁上產(chǎn)生的熱量為Q₁，R₂及金屬框并聯(lián)部分產(chǎn)生的總熱量為Q₂，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律有：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+Q+{Q_1}+{Q_2}$…⑪
由焦耳定律和電路結(jié)構(gòu)關(guān)系有：$\frac{Q_1}{R_1}=\frac{Q_2}{R}=\frac{Q}{r}$…⑫
聯(lián)解⑪⑫代入數(shù)據(jù)得：h≈1.02m…⑬
答：（1）電鍵S斷開時(shí)棒ab下滑過程中的最大速度是7m/s；
（2）電鍵S閉合，細(xì)導(dǎo)線剛好被拉斷時(shí)棒ab的速度是3.75m/s；
（3）若電鍵S閉合后，從棒ab釋放到細(xì)導(dǎo)線被拉斷的過程中棒ab上產(chǎn)生的電熱Q=2J，此過程中棒ab下滑的高度1.02m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電路知識(shí)、電磁感應(yīng)和力學(xué)知識(shí)，分析和計(jì)算安培力和能量如何轉(zhuǎn)化是兩個(gè)關(guān)鍵．