Question

（15分）如圖所示，用長為L的細線一端系住質(zhì)量為m的小球，另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為AB上的一點，且AE=0.5L，過E作水平線EF，在EF上可以釘鐵釘D，現(xiàn)將細線水平拉直，然后小球由靜止釋放。不計一切摩擦，不計線與釘子碰撞時的能量損失，求：

（1）若無鐵釘D，小球運動到最低點B時細線的拉力TB=?

（2）若釘上鐵釘D且線拉力足夠大，使小球恰能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運動，則釘子D 與點E 距離DE=？

（3）釘鐵釘D后，若線能承受的最大拉力是9mg，小球能繞釘子在豎直面內(nèi)做完整圓周運動，ED取值范圍是多少？

 

Answer 1

（1）3mg；（2）x2≥l ；（3）l≤x≤l

【解析】

試題分析：（1）這是一個圓周運動與機械能兩部分知識綜合應用的典型問題．題中涉及兩個臨界條件：一是線承受的最大拉力不大于9mg；另一個是在圓周運動的最高點的瞬時速度必須不小于（r是做圓周運動的半徑）．設在D點繩剛好承受最大拉力，設DE=x1，則：AD=

懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r1=l－AD= l－……①

取B點，EP=0，，mgL=mv2，則TB=3mg。

（2）設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x2，如圖，則：AG=

r2=l－AG= l－ ⑥

在最高點：mg≤ ⑦

由機械能守恒定律得：mg (r2)=mv22 ⑧

由④⑤⑥聯(lián)立得：x2≥l ⑨

（3）當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v，由牛頓第二定律有：

F－mg= ②

結(jié)合F≤9mg可得：≤8mg… ③

由機械能守恒定律得：mg (+r1)=mv12

即：v2=2g(+r1) … ④

由①②③式聯(lián)立解得：x1≤l… ⑤

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉(zhuǎn)至最高點的臨界速度也越來越大，但根據(jù)機械能守恒定律，半徑r越大，轉(zhuǎn)至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．在水平線上EF上釘子的位置范圍是：l≤x≤l

考點：機械能守恒定律及牛頓定律的應用。