Question

11．如圖，水平軌道A點(diǎn)左側(cè)光滑，右側(cè)粗糙，距A點(diǎn)s=1.0m的B端與半徑R=0.25m的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直．一小物塊b以v₀=3.0m/s的速度，與靜置于A點(diǎn)的小物塊a發(fā)生彈性碰撞．碰后a沿水平軌道運(yùn)動(dòng)，然后滑上軌道BCD．已知小物塊a的質(zhì)量m_a=1.0kg，a與AB軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.20，g取10m/s²．
（1）若a到達(dá)半圓軌道的中點(diǎn)C點(diǎn)時(shí)速率v_C=1.0m/s，求a進(jìn)入半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大��；
（2）若a能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求a碰后的最大速度；
（2）若a能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求b的質(zhì)量m_b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由機(jī)械能守恒定律求出a到達(dá)B點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出支持力，再求出壓力．
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出a碰后的速度．
（3）碰撞過(guò)程機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律可以求出b的質(zhì)量范圍．

解答 解：（1）設(shè)物塊a經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_av_B²=$\frac{1}{2}$m_av_C²+m_agR   ①
設(shè)物塊剛進(jìn)入圓軌道時(shí)受到的支持力為N，
由牛頓第二定律得：N-m_ag=m_a$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$      ②
解得：N=34N，由牛頓第三定律知，a對(duì)軌道的壓力大小為34N．
（2）要使a仍能沿圓軌道滑回，a在圓軌道的上升高度不能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)C．
設(shè)碰后a的速度為v₁時(shí)恰能滑到C點(diǎn)，由動(dòng)能定理有：
-μm_ags-m_agR=0-$\frac{1}{2}$m_av₁²    ③
解得：v₁=3m/s，此為a碰后的最大速度．
（3）設(shè)碰后a的速度為v₂時(shí)恰能滑到B點(diǎn)，
由動(dòng)能定理有：-μm_ags=0-$\frac{1}{2}$m_av₂²    解得：v₂=2.0m/s；
碰后a的速度滿足2.0m/s≤v_a≤3.0m/s時(shí)，a能滑上圓軌道，并仍能沿圓軌道滑下．
設(shè) b、a發(fā)生彈性碰撞的速度分別為v_b、v_a，以b的初速度方向?yàn)檎较颍?br />根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：m_bv₀=m_av_a+m_bv_b，
碰撞過(guò)程無(wú)動(dòng)能損失：$\frac{1}{2}$m_bv₀²=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²，
解得：v_a=$\frac{2{m}_{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_}$，由2.0m/s≤$\frac{2{m}_{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_}$≤3.0m/s，
解得：0.50kg≤m_b≤1.0kg；
答（1）a進(jìn)入半圓軌道的B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為34N；
（2）a碰后的最大速度為3m/s；
（2）b的質(zhì)量m_b的取值范圍是0.50kg≤m_b≤1.0kg．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求壓力、速度與質(zhì)量范圍問(wèn)題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程后應(yīng)用動(dòng)量守恒定律、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律可以解題．