Question

18．如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另有一顆質量為m的衛(wèi)星B，其圓形軌道位于赤道平面內，離地面高度為h．已知地球半徑為R，地球自轉角速度為ω₀，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心．求：
（1）衛(wèi)星B運行周期．
（2）衛(wèi)星B運動的動能．
（3）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經過多長時間，它們再一次相距最近？

Answer 1

分析 研究衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式表示出周期和速度．
衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運動，當衛(wèi)星B轉過的角度與衛(wèi)星A轉過的角度之差等于2π時，衛(wèi)星再一次相距最近．

解答 解：（1）由萬有引力定律和向心力公式得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=R+h
在地球表面有：G$\frac{GM}{{R}^{2}}$=mg②
聯(lián)立解得：T_B=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$
（2）根據地球衛(wèi)星萬有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，r=R+h
衛(wèi)星B運動的動能E_k=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$=$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$，
（3）由題意得它們再一次相距最近時，一定是B比A多轉了一圈，有：
（ω_B-ω₀）t=2π
ω_B=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}$，
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$．
答：（1）衛(wèi)星B運行周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．
（2）衛(wèi)星B運動的動能是$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$．
（3）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經過$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$它們再一次相距最近．

點評 本題考查萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應用能力．
向心力的公式選取要根據題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用．