Question

12．如圖所示，豎直平面內(nèi)光滑圓軌道半徑R=2m，從最低點(diǎn)A有一質(zhì)量為m=1kg的小球開始運(yùn)動(dòng)，初速度v₀方向水平向右，重力加速度g取10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球能到達(dá)最高點(diǎn)B的條件是v₀≥4$\sqrt{5}$m/s
• B． 若初速度v₀=5m/s，則運(yùn)動(dòng)過程中，小球一定不會(huì)脫離圓軌道
• C． 若初速度v₀=8m/s，則小球?qū)⒃陔xA點(diǎn)3.2m高的位置離開圓軌道
• D． 若初速度v₀=8m/s，則小球離開圓軌道時(shí)的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s

Answer 1

分析 當(dāng)小球能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，此時(shí)速度最小，求出最小速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求出v₀的最小值，剛好脫離軌道時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力為零，重力沿半徑方向的分量提供向心力，根據(jù)向心力公式結(jié)合動(dòng)能定理以及幾何關(guān)系即可求解．

解答 解：A、當(dāng)小球能到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，此時(shí)速度最小，則
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{20}m/s$
從A到B的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•2R$
解得：v₀=10m/s
所以小球能到達(dá)最高點(diǎn)B的條件是v₀≥10m/s，故A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)小球恰好運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)，有 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s＞5m/s．則小球在軌道下部分來回運(yùn)動(dòng)，一定不會(huì)離開軌道，故B正確；
C、剛好脫離軌道時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力為零，重力沿半徑方向的分量提供向心力，設(shè)此時(shí)重力方向與半徑方向的夾角為θ，則
mgcos$θ=m\frac{{v′}^{2}}{R}$
根據(jù)幾何關(guān)系得：cos$θ=\frac{h}{R}$
根據(jù)動(dòng)能定理得：$\frac{1}{2}m{v′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•（R+h）$
解得：$v′=2\sqrt{2}m/s$，h=0.8m
所以離開圓軌道得位置離A點(diǎn)的距離為H=0.8+2=2.8m，故C錯(cuò)誤，D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了向心力公式、動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，知道小球到達(dá)最高點(diǎn)的條件，特別注意剛好脫離軌道時(shí)，軌道對(duì)小球的彈力為零，難度較大．