Question

14．如圖所示，兩根粗糙直桿AC和PE與半徑為R=0.5m的光滑半圓環(huán)CDE平滑連接，固定在同一豎直面內(nèi)，兩直桿與水平夾角均為θ=37°，質(zhì)量分別為m₁=0.3kg、m₂=0.1kg的小環(huán)套在直桿上相距為L(zhǎng)₁的A、B兩處，m₁、m₂與兩直桿的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.5和μ₂=1.0．將m₁在A點(diǎn)無(wú)初速釋放后，在B點(diǎn)與m₂發(fā)生碰撞（碰撞時(shí)間極短，BC間距L₂=2R=1.0m），碰后m₁、m₂具有相同速度但不粘連，之后m₂停留在Q點(diǎn)，QE相距恰為L(zhǎng)₂=1.0m．取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）AB間距L₁多大？
（2）m₁從A點(diǎn)釋放后，在兩直桿上通過(guò)的總路程多大？

Answer 1

分析 （1）先研究碰撞后整體從B到Q的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式．AB碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律列式．球m₁從A到B的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立可求出AB間距L₁．
（2）整體到達(dá)Q點(diǎn)后，由于m₂的下滑力小于最大靜摩擦力，將始終靜止在Q點(diǎn)不動(dòng)．m₁返回并在兩傾斜軌道之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，由于有摩擦力，最終會(huì)在C點(diǎn)速度為零，研究m₁從Q到C點(diǎn)的整個(gè)過(guò)程，由動(dòng)能定理求總路程．

解答 解：（1）m₁、m₂受到的摩擦力分別為f₁、f₂，則有：
f₁=μ₁m₁gcosθ=0.5×0.3×10×0.8N=1.2N
f₂=μ₂m₂gcosθ=1.0×0.1×10×0.8N=0.8N
則有：f=f₁+f₂=2N
m₁、m₂碰后瞬間速度為v，研究m₁、m₂碰整體，由動(dòng)能定理有：
-f•2L₂-（m₁+m₂）gL₂cosθ=0-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
m₁、m₂碰撞時(shí)間極短，碰前瞬間m₁的速度為v₁，取沿桿向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
m₁v₁=（m₁+m₂）v
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=8m/s
m₁從A到B的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
m₁gL₁sinθ-f₁L₁=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：L₁=16m
（2）整體到達(dá)Q點(diǎn)后速度為0，此后，由于m₂的下滑力小于最大靜摩擦力，將始終靜止在Q點(diǎn)不動(dòng)．m₁返回并在兩傾斜軌道之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，由于有摩擦力，最終會(huì)在C點(diǎn)速度為零，研究m₁從Q點(diǎn)無(wú)初速度開(kāi)始到C點(diǎn)速度為零的整個(gè)過(guò)程，設(shè)m₁從Q點(diǎn)起在兩直桿上通過(guò)的總路程為x．由動(dòng)能定理得：
m₁gL₂（sinθ+cosθ）-f₁x=0
代入數(shù)據(jù)解得：x=3.5m
所以m₁從A點(diǎn)釋放后，在兩直桿上通過(guò)的總路程為：
S=L₁+2L₂+x
解得：S=21.5m
答：（1）AB間距L₁是16m．
（2）m₁從A點(diǎn)釋放后，在兩直桿上通過(guò)的總路程是21.5m．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚兩個(gè)物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道涉及力在空間上效果時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理可求速度或總路程，要明確滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．