Question

1．如圖所示，在直角坐標系xOy的第Ⅱ象限內，存在沿y軸負方向、電場強度大小為E的勻強電場，在第Ⅳ象限內存在著方向垂直于xOy平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場．從電場中P（-L，L）、Q（-L，$\frac{L}{4}$）兩點連線上各處，沿x軸正方向同時射入許多質量為m、電荷量為q的帶正電粒子，結果所有粒子都從坐標原點O進入磁場．不計粒子重力及粒子之間的相互作用，求：
（1）粒子從射入到全部通過O點所用的時間t₀；
（2）這些粒子從x軸上射出磁場時，所經(jīng)過區(qū)域的寬度△d．

Answer 1

分析 （1）因從P、Q間射入且從O點射出的所有粒子中從P點射入的粒子所需時間最長，故粒子從射入到全部通過O點所用的時間為從P點射入粒子在電場中運動的時間，可利用帶電粒子在豎直方向上的勻加速直線運動求得．
（2）帶電粒子自O點射入磁場后做勻速圓周運動，屬于典型的帶電粒子在有界磁場中運動的問題，可利用幾何知識和軌道半徑r的推導式求解

解答 解：（1）從P點射入的粒子最后通過O點，設粒子運動的加速度為a，則從P點射入的粒子有：
L=$\frac{1}{2}$at₀²…①
a=$\frac{Eq}{m}$…②
由①②得：t₀=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$
（2）設從（-L，y）射入的粒子進入磁場時速度v與x軸正方向成θ角，在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，該粒子從x軸上射出磁場的位置與O點的距離為d，軌跡如下圖，則有：

qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…③
d=2rsinθ…④
sinθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$…⑤
v_y²=2ay…⑥
qE=ma…⑦
由③④⑤⑥⑦得：$d=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2mE}{q}y}$…⑧
由題意可知：$\frac{L}{4}≤y≤L$…⑨
由⑧⑨得：$△d=ouk9pqv_{max}-83mowff_{min}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$
答：（1）粒子從射入到全部通過O點所用的時間為$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
（2）這些粒子從x軸上射出磁場時，所經(jīng)過區(qū)域的寬度為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$

點評 本題主要考查了帶電粒子在電場、磁場中運動的問題，要求同學們熟練掌握帶電粒子在勻強電場中做類平拋運動和有界磁場中的勻速圓周運動問題的分析方法，并靈活應用幾何知識．