Question

11．如圖甲所示，長(zhǎng)為l、相距為d的兩塊正對(duì)的平行金屬板AB和CD與一電源相連（圖中未畫出電源），B、D為兩板的右端點(diǎn)，兩板間電壓的變化如圖乙所示，在金屬板B、D端的右側(cè)有一與金屬板垂直放置的熒光屏MN，熒光屏距B、D端的距離為l，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子以相同的初速度v₀從極板左邊中央沿平行極板的直線O₁O₂連續(xù)不斷地射入．已知所有的電子均能夠從金屬板間射出，且每個(gè)電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與電壓變化的周期相等，忽略極板邊緣處電場(chǎng)的影響，不計(jì)電子的重力以及電子之間的相互作用．求
（1）t=0和t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)金屬板B、D端界面時(shí)偏離O₁O₂的距離之比
（2）兩板間電壓U₀的最大值
（3）電子在熒光屏上分布的最大范圍．

Answer 1

分析 （1）從t=0時(shí)刻進(jìn)入電子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后做類平拋運(yùn)動(dòng)，從t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入做類平拋運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出偏轉(zhuǎn)位移，從而求出偏離OO′的距離之比．
（2）在t=（2n+1）$\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子在離開(kāi)金屬板時(shí)偏離OO′的距離最大，抓住偏轉(zhuǎn)位移小于$\fracn2iamna{2}$，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩板間電壓U₀的最大值．
（3）分別求出t=（2n+1）$\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子在離開(kāi)金屬板時(shí)偏離OO′的距離和t=（2n+1）$\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離，從而確定電子在熒光屏上分布的最大范圍．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子先沿OO′方向做勻速運(yùn)動(dòng)，即有
v₀$\frac{T}{2}$=$\frac{l}{2}$
而后在電場(chǎng)力作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，在垂直于OO′方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)B、D
端界面時(shí)偏離OO′的距離為y₁，則y₁=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$（$\frac{T}{2}$）²=$\frac{e{U}_{0}{l}^{2}}{8md{{v}_{0}}^{2}}$
t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子先在$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)做拋物線運(yùn)動(dòng)到達(dá)金屬板的中央，而后做勻速直線運(yùn)動(dòng)到達(dá)金屬板B、D端界面．設(shè)電子到達(dá)金屬板的中央時(shí)偏離OO′的距離為y₂，將此時(shí)電子的速度分解為沿OO′方向的分量v₀與沿電場(chǎng)方向的分量v_E，并設(shè)此時(shí)刻電子的速度方向與OO′的夾角為θ，電子沿直線到達(dá)金屬板B、D端界面時(shí)偏離OO′的距離為y₂′，則有y₂=$\frac{1}{2}$$\frac{e{U}_{0}}{md}$（$\frac{T}{2}$）²
tanθ=$\frac{{v}_{E}}{{v}_{0}}$=$\frac{e{U}_{0}}{md{v}_{0}}$•$\frac{T}{2}$=$\frac{{y}_{2}′-{y}_{2}}{\frac{l}{2}}$
解得y₂′=$\frac{3e{U}_{0}{l}^{2}}{8md{{v}_{0}}^{2}}$
因此，y₁：y₂′=1：3．
（2）在t=（2n+1）$\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子在離開(kāi)金屬板時(shí)偏離OO′的距離最大，因此為使所有進(jìn)入金屬板間的電子都能夠飛出金屬板，應(yīng)滿足的條件為y₂′≤$\frac406m0hx{2}$，解得板間電太的最大值
U₀=$\frac{4lwcxp3o^{2}m{{v}_{0}}^{2}}{3e{l}^{2}}$
（3）設(shè)t=nT（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₁；
t=（2n+1）$\frac{T}{2}$（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)熒光屏上的位置與O′點(diǎn)的距離為Y₂′，電子到達(dá)熒光屏上分布在△Y=Y₂-Y₁范圍內(nèi)．當(dāng)滿足y₂′=$\fraczyyo7it{2}$的條件時(shí)，△Y為最大．根據(jù)題中金屬板和熒光屏之間的幾何關(guān)系，得到
tanθ=$\frac{{Y}_{2}-{y}_{2}′}{l}$=$\frac{{Y}_{1}-{y}_{1}}{l}$
因此電子在熒光屏上分布的最大范圍為△Y=Y₂-Y₁=y₂′-y₁=$\fracyg31css{3}$
答：（1）t=0和t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入兩板間的電子到達(dá)金屬板B、D端界面時(shí)偏離OO′的距離之比為1：3．
（2）兩板間電壓U₀的最大值$\frac{4jiaq317^{2}m{{v}_{0}}^{2}}{3e{l}^{2}}$．
（3）電子在熒光屏上分布的最大范圍為$\fractmp1vva{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)，理清粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律進(jìn)行求解．