Question

16．“嫦娥四號(hào)”計(jì)劃在2017年發(fā)射升空，屆時(shí)“嫦娥四號(hào)”將在離月球中心距離為r的軌道上圍繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞月周期為T(mén)己知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬(wàn)有引力恒量為G根據(jù)以上信息可以確定（　�。�

• A． 月球的第一宇宙速度為$\sqrt{gr}$
• B． 月球的平均密度為$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． “嫦娥四號(hào)”必須減速運(yùn)動(dòng)才能返回地球
• D． 月球質(zhì)量為$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$和萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$進(jìn)行分析．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得：v=$\sqrt{gR}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．
月球的半徑為R，故月球的體積為$V=\frac{4}{3}π{R}^{3}$，根據(jù)密度的定義$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π{r}^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$，故B錯(cuò)誤；
C、嫦娥四號(hào)必須加速做離心運(yùn)動(dòng)才能返回地球，故C錯(cuò)誤；
D、根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得月球的質(zhì)量為M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．故D正確；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 解決本題關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力等于重力和萬(wàn)有引力提供向心力的應(yīng)用，知道第一宇宙速度的含義．