Question

19．如圖所示，半徑R=3.4m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道AB與粗糙水平臺(tái)面BC相切于B點(diǎn)，在臺(tái)面右端C處?kù)o止有質(zhì)量M₁=1kg的小物塊Q．質(zhì)量M₂=1kg的長(zhǎng)木板靜止于水平面上，其上表面與BC相平，且緊靠端點(diǎn)C．將質(zhì)量m=0.5kg的小物塊P從圓弧軌道的最高點(diǎn)A由靜止釋放，P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)與Q點(diǎn)相碰后，P恰好返回到B點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，Q最終停止在長(zhǎng)木板上．已知P與BC間、長(zhǎng)木板與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₁=0.1；Q與長(zhǎng)木板上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4，BC間距離為x_BC=2m．取g=10m/s²，求：
（1）Q滑上長(zhǎng)木板時(shí)的速度；
（2）長(zhǎng)木板滑動(dòng)的距離．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動(dòng)能定理求出P滑到C點(diǎn)與Q碰撞前的速度大小，再根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式、對(duì)P由C返回B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）Q在木板上滑動(dòng)過(guò)程中，先根據(jù)牛頓第二定律求出速度相等前的加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解速度相等前的位移，Q與木板速度相等后，共速做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到停止，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式求解此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的位移，兩段位移之和即為長(zhǎng)木板滑動(dòng)的距離．

解答 解：（1）設(shè)P滑到C點(diǎn)與Q碰撞前的速度大小為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理得：$mgR-{μ}_{1}mg{x}_{BC}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：v₀=8m/s
P與Q碰撞后P的速度大小為v₁，Q的速度大小為v₂，以P的初速度方向?yàn)檎�，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=-mv₁+M₁v₂，
P由C返回B的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：$-{μ}_{1}mg{x}_{BC}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得：v₁=2m/s，v₂=5m/s
（2）Q在木板上滑動(dòng)過(guò)程中，Q與木板的加速度大小分別為a₁、a₂，根據(jù)牛頓第二定律得：
μ₂M₁g=M₁a₁，μ₂M₁g-μ₁（M₁+M₂）g=M₂a₂，
解得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$，${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
Q在木板上滑行時(shí)間為t₁，與木板速度相等時(shí)，木板速度最多，設(shè)最大速度為v₃，
則v₃=v₂-a₁t₁，
v₃=a₂t₁，
解得：${t}_{1}=\frac{5}{6}s$，${v}_{3}=\frac{5}{3}m/s$，
木板在該過(guò)程中發(fā)生的位移大小為x₁，
${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{25}{36}m$
Q與木板速度相等后，共速做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直到停止，設(shè)該過(guò)程加速度大小為a₃，位移大小為x₂，
μ₂（M₁+M₂）g=（M₁+M₂）a₃，
${x}_{2}=\frac{{{v}_{3}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{25}{18}m$，
木板滑動(dòng)的距離x=x₁+x₂=2.08m
答：（1）Q滑上長(zhǎng)木板時(shí)的速度為5m/s；
（2）長(zhǎng)木板滑動(dòng)的距離為2.08m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析兩個(gè)物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，明確使用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)要規(guī)定正方向，難度適中．