Question

如圖所示，質(zhì)量為m的跨接桿可以無(wú)摩擦地沿水平的導(dǎo)軌滑行，兩軌間寬為L(zhǎng)，導(dǎo)軌與電阻R連接，放在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度為B．桿從x軸原點(diǎn)O以大小為vo、水平向右的初速度滑行，直到靜止．已知桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中速度v和位移x的函數(shù)關(guān)系是 v=v₀-B²L²x/mR．桿及導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)．
（1）試求桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式；
（2）求出桿開始運(yùn)動(dòng)和停止運(yùn)動(dòng)時(shí)分別所受的安培力F₁和F₂；
（3）證明桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（4）求出電阻R上增加的內(nèi)能△U．

Answer 1

分析：（1）桿向右滑行時(shí)切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL結(jié)合推導(dǎo)安培力的表達(dá)式．
（2）剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，x=0；停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，v=0，代入第1題的結(jié)論，即可求解．
（3）根據(jù)題干中v與x的函數(shù)關(guān)系式，分析安培力F與x的關(guān)系，若是線性關(guān)系，安培力的平均值等于開始時(shí)與末了時(shí)安培力的算術(shù)平均值，即可求出安培力做功，分析與動(dòng)能增量的關(guān)系．
（4）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，電阻R上增加的內(nèi)能△U等于棒克服安培力做功．

解答：解：（1）由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL得
安培力F=

B2L2v

R

  ①
將v和位移x的函數(shù)關(guān)系式v=v₀-

B2L2x

mR

代入上式得
  F=

B2L2

R

（v₀-

B2L2x

mR

） ②
（2）開始運(yùn)動(dòng)時(shí)x=0，則得安培力為F₀=

B2L2

R

v₀．
停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，v=0，安培力F_t=0
（3）由v=v₀-

B2L2x

mR

得，當(dāng)v=0時(shí)，棒運(yùn)動(dòng)的位移為x=

mRv0

B2L2

  ③
由②知F與x成線性關(guān)系，安培力的平均值為F_平均=

F0+Ft

2

=

B2L2v0

2R

 ④
則安培力做功為
  W=-F_平均x ⑤
將④③式代入⑤W=-

1

2

m

v

2 0

而桿在整個(gè)過程中動(dòng)能的增量△E_K=0-

1

2

m

v

2 0

=-

1

2

m

v

2 0

故桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的增量△E_K等于安培力所做的功；
（4）根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，電阻R上增加的內(nèi)能△U等于棒克服安培力做功，則電阻R上增加的內(nèi)能△U=

1

2

m

v

2 0

．
答：（1）桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數(shù)式是F=

B2L2

R

（v₀-

B2L2x

mR

）；
（2）桿開始運(yùn)動(dòng)安培力為

B2L2

R

v₀．停止運(yùn)動(dòng)時(shí)安培力為0；
（3）桿在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能的增量△E_K等于安培力所做的功，證明見上；
（4）電阻R上增加的內(nèi)能△U為

1

2

m

v

2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是由E=BLv、I=

E

R

、F=BIL推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，分析F與x的關(guān)系，得到安培力做功．