Question

4．如圖所示，一對豎直放置的平行正對金屬板A、B構(gòu)成電容器，電容為C．電容器的A板接地，且中間有一個小孔S．一個被燈絲加熱的陰極K與S位于同一水平線，從陰極上可以不斷地發(fā)射出電子，電子經(jīng)過電壓U₀．加速后通過小孔S沿水平方向射入A、B兩極板間．設(shè)電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，電子從陰極發(fā)射時的初速度可忽略不計，如果到達(dá)B板的電子都被B板吸收，且單位時間內(nèi)射入電容器的電子個數(shù)為n，隨著電子的射入，兩極板間的電勢差逐漸增加，致使最終電子無法到達(dá)B板．求：
（1）第一個到達(dá)B板的電子其速度的大��；
（2）當(dāng)B板吸收了N個電子時，A、B兩板間的電勢差；
（3）從電子射入小孔開始到A、B兩板間的電勢差達(dá)到最大值所經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）第一個到達(dá)B板的電子在運動過程中，只有KA間的電場力做功，根據(jù)動能定理求出其到達(dá)B板的速度大小．
（2）當(dāng)B板吸收了N個電子時電容器所帶電荷量為Q=Ne，由電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$，求A、B兩板間的電勢差．
（3）電子經(jīng)過U₀的電壓加速后，進(jìn)入A、B板間的動能為eU₀，進(jìn)入A、B板間電場后做減速運動．隨著B板電荷增加，電子在A、B間的加速度越來越大，直至電子到達(dá)B板的速度為零，此時A、B板間的電勢差達(dá)到最大值U_m根據(jù)動能定理求解U_m．再由C=$\frac{Q}{U}$，Q=net結(jié)合求

解答 解：（1）對于第一個到達(dá)B板的電子，根據(jù)動能定理得：
eU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則得：v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$
即第一個到達(dá)B板的電子其速度的大小為$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$．
（2）當(dāng)B板吸收了N個電子時，電容器所帶電荷量為 Q=Ne，根據(jù)電容的定義 C=$\frac{Q}{U}$，得此時A、B兩板間的電勢差為：U=$\frac{Ne}{C}$．
（3）電子經(jīng)過U₀的電壓加速后，進(jìn)入A、B板間的動能為eU₀，進(jìn)入A、B板間電場后做減速運動．隨著B板電荷增加，電子在A、B間的加速度越來越大，直至電子到達(dá)B板的速度為零，此時A、B板間的電勢差達(dá)到最大值U_m，
對于加速和減速的整個過程，根據(jù)動能定理得：eU₀-eU_m=0
得：U_m=U₀
設(shè)從電子進(jìn)入A、B板間，直到板間電壓達(dá)到最大值U_m，經(jīng)過的時間為t，則B板吸收的總電荷為：
Q=net，
最大電量為：
Q=CU_m=CU₀，
可以得出：t=$\frac{C{U}_{0}}{ne}$　
答：（1）第一個到達(dá)B板的電子其速度的大小為$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）當(dāng)B板吸收了N個電子時，A、B兩板間的電勢差是$\frac{Ne}{C}$；
（3）從電子射入小孔開始到A、B兩板間的電勢差達(dá)到最大值所經(jīng)歷的時間是$\frac{C{U}_{0}}{ne}$．

點評 本題是帶電粒子在電場中直線加速和減速與電容器有關(guān)知識的綜合，關(guān)鍵要掌握電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$，并運用動能定理求解．