Question

如圖所示，水平平板小車(chē)質(zhì)量為m=2kg，其上左端放有一質(zhì)量為M=6kg的鐵塊，鐵塊與平板車(chē)間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，今二者以10m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，并與墻發(fā)生彈性碰撞，使小車(chē)以大小相同的速度反彈回，這樣多次進(jìn)行，求：
①欲使M不從小車(chē)上落下，小車(chē)至少多長(zhǎng)？
②第一次反彈后到最終狀態(tài)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程．（小車(chē)與水平面的摩擦不計(jì)，g=10m/s²）

Answer 1

①取平板車(chē)與鐵塊為研究系統(tǒng)，由M＞m，系統(tǒng)每次與墻碰后m反向時(shí)，M仍以原來(lái)速度向右運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)總動(dòng)量向右，故會(huì)多次反復(fù)與墻碰撞，每次碰后M都要相對(duì)m向右運(yùn)動(dòng)，直到二者停在墻邊，碰撞不損失機(jī)械能，系統(tǒng)的動(dòng)能全在M相對(duì)m滑動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．設(shè)M相對(duì)m滑動(dòng)的距離為s，則有：
μMgs=

1

2

（m+M）v²
解得：s=

(m+M)v2

2μMg

=

40

3

m
欲便M不從小車(chē)上落下，則L≥s，故小車(chē)長(zhǎng)為：L≥

40

3

m
②小車(chē)第一次反彈向左以10m/s的速度做減速運(yùn)動(dòng)，直到速度為零，其加速度大小為：a=

μMg

m

=15m/s2
故小車(chē)第一次向左的最大位移為：s₁=

v02

2a

代入數(shù)據(jù)得：s1=

10

3

m
設(shè)小車(chē)第n-1次碰前速度為v_n-1，第n次碰前速度為v_n，則第n-1次碰后到第n次碰前過(guò)程動(dòng)量守恒，有：Mv_n-1-mv_n-1=（m+M）v_n，
所以有：v_n=

M-m

M+m

v_n-1=

1

2

v_n-1
第n-1次碰后小車(chē)反彈速度為v_n-1，向左減速的最大位移為：s_n-1=

vn-12

2a

隨后向右加速距離為：s′=

vn2

2a

顯然有：v_n＜v_n-1，s′＜s_n-1
所以在碰前有相等速度，第n次碰后向左運(yùn)動(dòng)的最大位移為：
s_n=

vn2

2a

所以有：

sn

sn-1

=

vn2

vn-12

=

1

4

，
即成等比數(shù)列．小車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程為：
s=2(s1+s2+s3+…+sn…)=

2s1

1- sn sn-1

=

2× 10 3

1- 1 4

=

80

9

m
答：①欲使M不從小車(chē)上落下，小車(chē)至少

40

3

m．
②第一次反彈后到最終狀態(tài)，小車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程

80

9

m．