Question

10．有一種利用電磁分離同位素的裝置，可以將某種化學元素的其它類型的同位素去除而達到濃縮該種特殊的同位素的目的，其工作原理如圖所示．粒子源A產生的初速度為零、電荷量為e、質量為m的氕核和質量為2m氘核，經過電壓為U₀的加速電場加速后勻速通過準直管，從偏轉電場的極板左端中央沿垂直電場方向射入勻強偏轉電場，偏轉后通過位于下極板中心位置的小孔S離開電場，進入范圍足夠大、上端和左端有理想邊界、磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場，磁場區(qū)域的上端以偏轉電場的下極板為邊界，磁場的左邊界MN與偏轉電場的下極板垂直，且MN與小孔S左邊緣相交于M點．已知偏轉極板的長度為其板間距離的2倍，整個裝置處于真空中，粒子所受重力、小孔S的大小及偏轉電場的邊緣效應均可忽略不計．
（1）求氕核通過孔S時的速度大小及方向；
（2）若氕核、氘核進入電場強度為E的偏轉電場后，沿極板方向的位移為x，垂直于極板方向的位移為y，試通過推導y隨x變化的關系式說明偏轉電場不能將氕核和氘核兩種同位素分離（即這兩種同位素在偏轉電場中運動軌跡相同）；
（3）在磁場邊界MN上設置同位素收集裝置，若氕核的收集裝置位于MN上S₁處，氘核的收集裝置位于MN上S₂處．求S₁和S₂之間的距離．

Answer 1

分析 （1）設氕核經加速電場加速后的速度為v，根據(jù)動能定理求出v，氕核垂直射入勻強偏轉電場，做類平拋運動，根據(jù)平拋運動基本公式即可；
（2）設氕、氘核經加速電場加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動能定理列式，求出兩個速度，設氕、氘核在平行極板方向通過x所用時間分別為t、t′，根據(jù)在平行極板方向做勻速運動求出運動時間，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，最后根據(jù)平拋運動基本公式求出表達式即可證明；
（3）設氕、氘核在磁場中的做圓運動的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出半徑之比，從而求出S₁和S₂之間的距離．

解答 解：（1）設氕核經加速電場加速后的速度為v，根據(jù)動能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
氕核垂直射入勻強偏轉電場，在平行極板方向做勻速直線運動，在垂直極板方向做勻加速直線運動．設偏轉極板長為l，極板間距為d，氕核從S孔射出時速度為v_S，垂直極板方向的速度為v_y，
因為$\frac{l}{2}=vt$，$\frac4czxamu{2}=\frac{v_y}{2}t$，l=2d
所以v=v_y
氕核通過小孔S時速度大小為：${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
氕核通過小孔S時速度方向與極板成45°
（2）設氕、氘核經加速電場加速后的速度分別為v、v′，根據(jù)動能定理有：
$e{U_0}=\frac{1}{2}m{v^2}$，$e{U_0}=\frac{1}{2}2m{v'^2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$，$v'=\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$
設氕、氘核在平行極板方向通過x所用時間分別為t、t′
則有：$t=\frac{x}{v}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}}}$，$t'=\frac{x}{v'}=\frac{x}{{\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}}}$
設偏轉電場的場強為E，氕核、氘核在偏轉電場中的加速度分別為a、a′，則有：
$a=\frac{eE}{m}$，$a'=\frac{eE}{2m}$
氕核、氘核在垂直極板方向上有：$y=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{E}{{4{U_0}}}{x^2}$，$y=\frac{1}{2}a'{t'^2}=\frac{E}{{4{U_0}}}{x^2}$
即氕、氘核在偏轉電場中的運動軌跡是相同的．
（3）設氕、氘核在磁場中的做圓運動的速度分別為v_S、v_S′，半徑分別為R₁、R₂
根據(jù)牛頓第二定律有：$e{v_S}B=\frac{{m{v_S}^2}}{R_1}$，$e{{v}_{S}}^{′}B=\frac{2m{v}_{S}{\;}^{2}}{{R}_{2}}$
根據(jù)（1）中${v_S}=\sqrt{2}v=\sqrt{2}\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}=2\sqrt{\frac{{e{U_0}}}{m}}$，${v_S}^′=\sqrt{\frac{{2e{U_0}}}{m}}$
可知氕核、氘核在磁場中運動半徑之比$\frac{R_1}{R_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
氕核、氘在磁場中做圓周運動所對應的弦長都是半徑的$\sqrt{2}$倍，
所以S₁和S₂之間的距離為：$△s=（4-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{{m{U_0}}}{{e{B^2}}}}$
答：（1）氕核通過孔S時的速度大小為$2\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{m}}$，方向與極板成45°；
（2）證明如上；
（3）S₁和S₂之間的距離$（4-2\sqrt{2}）\sqrt{\frac{m{U}_{0}}{e{B}^{2}}}$．

點評 明確研究對象的運動過程是解決問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題，對于圓周運動，關鍵找出圓周運動所需的向心力，列出等式解決問題，對于粒子垂直射入平行板電容器中的問題，要知道粒子做類平拋運動，能根據(jù)平拋運動基本公式求解，難度較大．