Question

10．如圖軌道ABCD平滑連接，其中AB為光滑的曲面，BC為粗糙水平面且摩擦因數(shù)為μ，CD為半徑為r內(nèi)壁光滑四分之一圓管，管口D正下方直立一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧（下端固定，上端恰好與D端齊平）．質(zhì)量為m的小球在曲面上距BC高為3r的地方由靜止下滑，進(jìn)入管口C端時(shí)與圓管恰好無壓力作用，通過CD后壓縮彈簧，壓縮過程中速度最大時(shí)彈簧彈性勢(shì)能為E_p．
求：（1）水平面BC的長度s；
（2）小球向下壓縮彈簧過程中的最大動(dòng)能E_Km．

Answer 1

分析 （1）小球進(jìn)入管口C端時(shí)與圓管恰好無壓力作用，由重力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球到達(dá)C點(diǎn)的速度．小球從A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理可求出水平面BC的長度S；
（2）小球壓縮彈簧時(shí)，當(dāng)小球的重力和彈力平衡時(shí)速度最大，由此列式，求出此時(shí)彈簧的壓縮量．設(shè)最大速度的位置為零勢(shì)能面，根據(jù)小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒求最大動(dòng)能E_Km．

解答 解：（1）由題知，小球在C點(diǎn)對(duì)軌道沒有壓力，對(duì)小球，由牛頓第二定律得：

 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
小球從A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理：
  mg•3r-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 s=$\frac{5r}{2μ}$
（2）小球壓縮彈簧時(shí)，最大速度時(shí)，小球加速度為0，設(shè)彈簧壓縮量為x．則
  kx=mg
得：x=$\frac{mg}{k}$
由C點(diǎn)到最大速度時(shí)，小球和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒：
設(shè)最大速度的位置為零勢(shì)能面，有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mg（r+x）=E_Km+E_p；
解得 E_Km=$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．
答：
（1）水平面BC的長度s為$\frac{5r}{2μ}$；
（2）小球向下壓縮彈簧過程中的最大動(dòng)能E_Km為$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．

點(diǎn)評(píng) 本題分析清楚物塊的運(yùn)動(dòng)過程，把握兩個(gè)臨界狀態(tài)是關(guān)鍵：一是小球通過C點(diǎn)的狀態(tài)，由重力充當(dāng)向心力．二是小球速度最大時(shí)，重力與彈力平衡．