Question

5．如圖甲所示，質(zhì)量為M=0.5kg的木板靜止在光滑水平面上，質(zhì)量為m=1kg的物塊以初速度v₀=4m/s滑上木板的左端，物塊與木板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，在物塊滑上木板的同時(shí)，給木板施加一個(gè)水平向右的恒力F．當(dāng)恒力F取某一值時(shí)，物塊在木板上相對于木板滑動(dòng)的路程為s，給木板施加不同大小的恒力F，得到$\frac{1}{s}$-F的關(guān)系如圖乙所示，其中AB與橫軸平行，且AB段的縱坐標(biāo)為1m^-1．將物塊視為質(zhì)點(diǎn)，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，重力加速度g=10m/s²．

（1）若恒力F=0，則物塊會(huì)從木板的右端滑下，求物塊在木板上滑行的時(shí)間t是多少？
（2）若恒力F=2N，則物塊與木板因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q為多少？
（3）圖乙中BC為直線段，求該段恒力F的取值范圍及$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由題，若恒力F=0，則物塊會(huì)從木板的右端滑下，分別對物塊與木板進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律求出加速度，然后結(jié)合位移關(guān)系即可求出；
（2）由圖象可看出當(dāng)F小于某一值F₁時(shí)，m物體在板上的路程始終等于板長S，當(dāng)F等于某一值F₁時(shí)，剛好不從木板右端掉下，此后一起相對靜止并加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式，抓住位移之間的關(guān)系列式，聯(lián)立方程求出B在A上相對A向右運(yùn)動(dòng)的路程S與F、v₀的關(guān)系式，把S=1m帶入即可求解F₁；
當(dāng)F₁≤F≤F₂時(shí)，隨著F力增大，S減小，當(dāng)F=F₂時(shí)，出現(xiàn)S突變，說明此時(shí)物塊、木板在達(dá)到共同速度后，恰好再次發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)，物塊將會(huì)從木板左端掉下．
對二者恰好發(fā)生相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，木板的加速度為a₂，則整體加速度也為a₂，由牛頓第二定律列式即可求解關(guān)系式，將F=2N代入求解相對位移，根據(jù)能量關(guān)系求解產(chǎn)生的熱；
（3）根據(jù)（2）可得該段恒力F的取值范圍及$\frac{1}{s}$-F函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）以初速度v₀為正方向，物塊的加速度大小為：a_m=μg=2m/s²，
木板的加速度大小為：${a}_{M}=\frac{μmg}{M}=4m/{s}^{2}$，
由圖乙知，板長L=1m，滑塊相對木板的路程為：L=v₀t-$\frac{1}{2}$a_mt²-$\frac{1}{2}$a_Mt²，
即：1=4t-$\frac{1}{2}$×2t²-$\frac{1}{2}$×4t²，
聯(lián)立解得：t=$\frac{1}{3}s$或t=1s；
當(dāng)t=1s時(shí)，滑塊的速度為2m/s，木板的速度為4m/s，而當(dāng)物塊從木板右端滑離時(shí)，滑塊的速度不可能小于木板的速度，t=1s應(yīng)舍棄，
故所求時(shí)間為t=$\frac{1}{3}s$；
（2）①當(dāng)F較小時(shí)，物塊將從木板右端滑下，當(dāng)F增大到某一值時(shí)物塊恰好到達(dá)木板的右端，且兩者具有共同速度v，歷時(shí)t₁，則有：
${a}_{1}=\frac{F+μmg}{M}$，
根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系可得：v=v₀-a_mt₁=a₁•t₁
根據(jù)位移關(guān)系可得：$s=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}-\frac{v}{2}{t}_{1}=\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}$，
聯(lián)立解得：$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$，
由圖乙知，相對路程：s≤1m
代入解得：F≥1N
②當(dāng)F繼續(xù)增大時(shí)，物塊減速、木板加速，兩者在木板上某一位置具有共同速度；當(dāng)兩者共速后能保持相對靜止（靜摩擦力作用）一起以相同加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)，則：
$a=\frac{F}{M+m}$，而f=ma，
由于靜摩擦力存在最大值，所以：f≤f_max=μmg=2N，
聯(lián)立解得：F≤3N；
綜上所述：BC段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，函數(shù)關(guān)系式是：$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$，
當(dāng)F=2N時(shí)，s=0.8m，
故有Q=μmgs=0.2×1×10×0.8J=1.6J；
（3）根據(jù)（2）的分析可得：BC段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，函數(shù)關(guān)系式是：$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$．
答：（1）若恒力F=0，則物塊會(huì)從木板的右端滑下，求物塊在木板上滑行的時(shí)間t是$\frac{1}{3}s$；
（2）若恒力F=2N，則物塊與木板因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q為1.6J；
（3）圖乙中BC為直線段，該段恒力F的取值范圍是1N≤F≤3N，函數(shù)關(guān)系式是$\frac{1}{s}=\frac{F+3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查牛頓運(yùn)動(dòng)定律．滑塊問題是物理模型中非常重要的模型，是學(xué)生物理建模能力培養(yǎng)的典型模型．滑塊問題的解決非常靈活，針對受力分析、運(yùn)動(dòng)分析以及牛頓第二定律的掌握，還有相對運(yùn)動(dòng)的分析，特別是摩擦力的變化與轉(zhuǎn)型，都是難點(diǎn)所在．本題通過非常規(guī)的圖象來分析滑塊的運(yùn)動(dòng)，能從圖中讀懂物體的運(yùn)動(dòng)．